Трехмерные волновые пакеты в импульсном пространстве

Мне дан 3D волновой пакет:

$$\psi(x,y,z)=N\,\exp\left(\frac{-(x^2+y^2+2z^2)}{2a^2}\right).$$ Меня попросили найти N (достаточно легко). Затем меня спросили вероятность того, что мы измеряем $z$больше 0, что я решил быть $1/2$. Затем мне нужно было найти вероятность, которую мы имели $x$и $y$отрицательный и $z$положительный; Я решил, что это будет $1/8$.

В последнем вопросе предлагается рассчитать вероятность того, что измерение импульса даст результат, включенный в дифференциальный объем.$dp_x dp_y dp_z$сосредоточено вокруг точки$p_x=p_y=0,p_z=\hbar/a$.

Поэтому мне интересно, были ли (а) мои решения первых двух вопросов правильными (при необходимости я могу отредактировать, как я это сделал) и (б) как я хочу подойти к проблеме импульса. Я не уверен, нужно ли мне преобразовать волну в импульсное пространство, а затем просто взять$|\psi|^2$.

РЕДАКТИРОВАТЬ:::

Итак, я нахожу свой волновой пакет в импульсном пространстве,$\psi(p_x,p_y,p_z)$чтобы найти вероятность, упомянутую вокруг пунктов выше, это просто

$$\int^a_{-a}\int^b_{-b}\int^{\hbar/a + c}_{\hbar/a -c}|\psi|^2dp_zdp_ydp_x$$