Где ошибка в выводе закона Гаусса в его дифференциальной форме?

Из теоремы о расходимости для любого векторного поля E

∮ Е ⋅ г а "=" ∫ ( ∇ ⋅ Е )   г т

и из закона Гаусса

∮ Е ⋅ г а "=" Вопрос е н с л о с е г ϵ 0 "=" ∫ р ϵ 0   г т

Следовательно,

∫ р ϵ 0 г т "=" ∫ ( ∇ ⋅ Е )   г т

Учебники заключают из последнего уравнения, что

∇ ⋅ Е "=" р ϵ 0

Мой вопрос: как мы можем заключить, что подынтегральные выражения одинаковы? Поскольку я могу придумать следующий контрпример, предположим,

∫ − а а ф ( Икс )   г Икс "=" ∫ − а а [ ф ( Икс ) + г ( Икс ) ]   г Икс

где г ( Икс ) является нечетной функцией. Очевидно, что два интеграла равны, но мы не можем заключить, что ф ( Икс ) равно ф ( Икс ) + г ( Икс ) так где ошибка?

Ответы (2)

Уравнение

∫ В р ϵ 0 г т "=" ∫ В ( ∇ ⋅ Е )   г т
верно для всех регионов В в пространстве интегрирование производится поверх. Отсюда следует равенство подынтегральных выражений. Ваш контрпример неверен, потому что интегралы равны только тогда, когда область интегрирования имеет вид [ − а , а ] .

позвольте мне взять интеграл RHS для LHS, чтобы получить ∫ В р ϵ 0 − ( ∇ ⋅ Е )   г т = 0 для каждой области V в пространстве. означает ли это, что подынтегральная функция должна быть равна нулю? Я так не думаю. Функция Тома имеет нуль интеграла Реймана везде в области, в которой она определена. однако функция отлична от нуля в счетно бесконечных точках. Даже функция Дирихле везде дает нулевое общее интегрирование.

Ваш контрпример, очевидно, верен: совершенно неверно , что если интеграл функции такой же, как у другой функции, то обе функции совпадают.

Чтобы математически доказать дифференциальную форму закона Гаусса, если вы выберете область интегрирования как параллелепипед п чьи стороны [ Икс 0 , Икс 0 + час Икс ] , [ у 0 , у 0 + час у ] и [ г 0 , г 0 + час г ] и позвони ‖ час ‖ "=" час Икс 2 + час у 2 + час г 2 длину диагонали, применяя сказанное здесь , можно увидеть, что

лим час → 0 час Икс час у час г ≠ 0 1 час Икс час у час г ∫ Икс 0 Икс 0 + час Икс ∫ у 0 у 0 + час у ∫ г 0 г 0 + час г р ( Икс , у , г ) ε 0 г Икс г у г г "=" р ( Икс 0 , у 0 , г 0 ) ε 0
и
лим час → 0 час Икс час у час г ≠ 0 1 час Икс час у час г ∫ Икс 0 Икс 0 + час Икс ∫ у 0 у 0 + час у ∫ г 0 г 0 + час г ( ∇ ⋅ Е ) ( Икс , у , г ) г Икс г у г г "=" ( ∇ ⋅ Е ) ( Икс 0 , у 0 , г 0 )
Следовательно, поскольку
∫ Икс 0 Икс 0 + час Икс ∫ у 0 у 0 + час у ∫ г 0 г 0 + час г р ( Икс , у , г ) ε 0 г Икс г у г г
"=" ∫ Икс 0 Икс 0 + час Икс ∫ у 0 у 0 + час у ∫ г 0 г 0 + час г ( ∇ ⋅ Е ) ( Икс , у , г ) г Икс г у г г
у вас есть тезис.

Где ошибка в выводе закона Гаусса в его дифференциальной форме?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v