Способ начисления платы за изображение [закрыто]

Пытаясь понять метод зарядов изображения , я попытаюсь рассчитать общий заряд на заземленной проводящей плоскости - с электрическим диполем и точечным зарядом.

Данный:

1. Плата за баллы$Q$, находится в$(0,0,a)$.
2. Электрический диполь$\vec p = (0,0,p)$, находится в$(0,0,b)$.
3. Заземленная и бесконечная проводящая плоскость, при$z=0$(параллельно XYплоскости)

Моя работа

Использование метода имиджевых сборов:

Очевидно, по логике это полный заряд диполя + заряд$Q$, что составляет всего лишь$Q$(поскольку диполь имеет два заряда одинаковой величины и противоположного знака.)

Я пытался найти ответ,$Q$, математически, применяя закон Гаусса на плоскости, имея$\vec E \ne 0$только с положительной стороны$z$.

Итак, сначала я попытался найти выражения для$z$составляющая электрического поля в точке, очень близкой к заземленной плоскости:

Электрическое поле диполя:

$$\vec E (\,\vec r\,) = \frac{ 3(\,\vec p \cdot \hat r \,)\hat r - \vec p }{ 4\pi \epsilon_0 \cdot \lvert \vec{ r\,} \rvert^3 }$$

Пока$\vec r = (x,y,0) - (0,0,b) = (x,y,-b)$, его$z$компонент:

$$\vec E_{z\,, \,dipole} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \cdot \left( \frac{3pb^2}{\sqrt{x^2+y^2+b^2}} - \frac{p}{(x^2+y^2+b^2)^{3/2}} \right)$$

Электрическое поле точечного заряда (используя закон Кулона ):

$$E_Q = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{Q}{ (x^2+y^2+a^2)^{3/2}} \cdot (x,y,-a)$$

Таким образом, по закону Гаусса общий заряд самолета равен:

$$\begin{align} Q_{in} &= \epsilon_0 \oint_S \vec E d \vec S = \\ &= \epsilon_0 \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \int\limits_{0}^{2\pi} \int\limits_{0}^{\infty} \left( \frac{3pb^2}{\sqrt{r^2 + b^2}} - \frac{p}{(r^2 + b^2)^{3/2}} - \frac{a Q}{(r^2+a^2)^{3/2}} \right) r \, dr \, d\theta = \\ &= \frac{1}{4\pi} \cdot 2\pi \left( 3pb^2 \cdot \sqrt{r^2 + b^2} + \frac{p}{\sqrt{r^2 + b^2}} + \frac{a Q}{\sqrt{r^2 + a^2}} \right) \bigg{|}_{r=0}^{\infty} \\ \end{align}$$ Но, как видите, первое выражение$\left( 3pb^2 \cdot \sqrt{r^2 + b^2} \right)$расходится.

---

Объясните, пожалуйста, почему метод начисления платы за изображения имеет смысл в этом сценарии?