Генераторы групп симметрии SU(2)SU(2)SU(2) и SU(3)SU(3)SU(3)

Каков физический смысл образующих, которые представляются матрицами?

По сути, они физически представляют собой бесконечно малые операции, например,

1. угловой момент как генератор вращений,

2. линейный импульс как генератор переводов,

3. электрический заряд, являющийся генератором группы симметрии U (1) электромагнетизма,

4. цветовые заряды кварков являются генераторами цветовой симметрии SU(3) в квантовой хромодинамике,

Благодаря своей простоте они очень полезны при проверке коммутационных соотношений, связанных с алгеброй Ли любой конкретной группы.

Матрицы Паули, умноженные на$i$, являются основой для $su(2)$, т.е. задействована алгебра Ли, а не группа.

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}=\sigma _{x}&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\\\sigma _{2}=\sigma _{y}&={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\\\sigma _{3}=\sigma _{z}&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\,.\end{aligned}}}$

Однако, как вы, наверное, знаете, они включаются в экспоненциальную функцию, когда нам нужно выразить, скажем, поворот на угол 30 градусов.

Учитывая $SO(3; 1)$ представление, можно попытаться построить представление $SO(3; 1)$, компонент идентичности группы Лоренца, с помощью экспоненциального отображения. Если $X$ является элементом $SO(3; 1)$в стандартном представлении, то

${\displaystyle \Lambda =e^{iX}\equiv \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(iX)^{n}}{n!}}}$

является преобразованием Лоренца в силу общих свойств алгебр Ли.

РЕДАКТИРОВАТЬ Из комментария WetSavannaAnimal, также известного как Род Вэнс

Алгебры Ли групп Ли представляются как алгебры Ли над вещественными полями, так что$i$ не считается скаляром в поле: коэффициенты суперпозиций в алгебре Ли всегда действительны.