Присоединенное представление и калибровочный бозон O(n)O(n)O(n)

То, что вы добавляете к частной производной, чтобы получить ковариантную производную относительно локального действия группы$G$всегда является одной формой (то есть имеет один пространственно-временной индекс) со значениями в присоединенном представлении$G$. Причина в следующем: для пространственно-временно-независимых преобразований$\psi \mapsto U \psi$,$U \in G$мы хотим иметь$D \psi \mapsto U D \psi$. Для этого необходимо, чтобы коэффициенты связи$W$находятся в присоединенном представлении,$W \mapsto U W U^{-1}$. Присоединенное представление группы есть не что иное, как ее алгебра Ли.$\mathfrak g$. Геометрически это означает, что если вы хотите параллельно перенести свое поле вдоль бесконечно малого отрезка, касательного к вектору$\xi^{\mu}$, на него нужно воздействовать бесконечно малым точечно-зависимым$G$-трансформация$-W$.