Геодезические пространства анти-де Ситтера

«Каждая времяподобная геодезическая пересечет одну и ту же точку через промежуток времени$\pi$" будет истинным, если полупериод равен$\pi$. Вы нашли общее решение для$x(\tau)$, а именно

$$x(\tau)=A\sin\tau+B\cos\tau$$ или, наоборот, $$x(\tau)=A\sin{(\tau-\tau_0)}.$$ Когда$\tau$увеличивается на$\pi$,$x$возвращается к тому, что было, после полупериода.

Но мы хотим показать, что когда$x$возвращается,$t$, и не только$\tau$, увеличилась на$\pi$. Так что же$t$делает?

Когда вы заменяете$x(\tau)=A\sin{(\tau-\tau_0)}$в

$$\frac{\dot{x}^2}{1+x^2}-(1+x^2)\dot{t}^2=-1$$ и решить для$t$, Вы получаете $$t(\tau)=\tan^{-1}{[\sqrt{A^2+1}\tan{(\tau-\tau_0)}]}+t_0.$$

Чтобы увидеть, что здесь происходит, давайте возьмем$\tau_0$и$t_0$быть равным нулю (поскольку они просто представляют собой неинтересные переводы времени) и посмотрите на функцию$\tan^{-1}{(\sqrt{A^2+1}\tan{\tau})}$. Вот сюжет, когда$A=\sqrt{3}$(просто произвольное значение в качестве примера):

Но$t$на самом деле не является прерывистым, как это. Функция арктангенса многозначна, и мы должны выбрать соответствующую ее ветвь, чтобы t непрерывно возрастала с ростом$\tau$. Это означает, что мы двигаемся вверх по второй синей кривой на$\pi$, третья синяя кривая$2\pi$и т. д., чтобы получить непрерывную функцию$t(\tau)$это выглядит так:

В результате всякий раз, когда$\tau$увеличивается на$\pi$, так же$t$!

Таким образом, времяподобные геодезические

$$\begin{align} x&=A\sin\tau \\ t&=\tan^{-1}{[\sqrt{A^2+1}\tan{\tau}]} \end{align}$$

где мы отбросили неинтересные константы перевода времени.

Когда$\tau$увеличивается на$\pi$,$t$также увеличивается на$\pi$, и$x$возвращается к тому, что было. Это то, что вы пытались показать.

Во-первых, заявление

пройдет через одну и ту же точку через промежуток времени$\pi$

неправильно. В цитируемой статье фактическое утверждение

…каждая времяподобная геодезическая, пересекающая$t$ось в точке$t=t_0$снова пересекает эту ось в$t=t_0+\pi$.

Итак$\pi$интервал означает прохождение через$x=0$, фактический период для массивной частицы, движущейся по геодезической (так как не только положение, но и скорость частицы одинаковы) равен$2 \pi$.

Чтобы сделать «свойство фокусировки» пространства AdS наглядным, вспомним каноническое вложение пространства AdS в объемлющее псевдориманово пространство$\mathbb{R}^{2,1}$пространство с двумя времениподобными и одной пространственноподобной координатами:$ds^2=-dU^2-dV^2+dX^2$.

AdS ₂ определяется как гиперболоид$-U^2-V^2+X^2=-1$. Внутренние статические координаты$(t,x)$связаны с координатами окружающего пространства через:

$$(U,V,X) = (\sqrt{1+x^2}\cos(t),\sqrt{1+x^2}\sin(t),x) .$$ Легко видеть, что точки со статическими координатами$(x_0,t_0)$и$(x_0,t_0+2\pi)$на самом деле одно и то же. Если «развернуть»$t$переменных, делая их различными, мы фактически переходим от собственно пространства AdS к универсальному покрывающему пространству AdS. Времяподобные геодезические на AdS — это сечения гиперболоида времениподобной плоскостью пространства вложения, проходящей через начало координат. Чтобы показать это, можно было бы начать с показа этого круга$X=0$,$U^2+V^2=1$(или альтернативно$U=\cos \tau$,$V=\sin\tau$,$\tau$является собственным временем) является геодезической, а затем использовать изометрии AdS (которая представляет собой группу Лоренца$SO(2,1)$пространства вложения), чтобы превратить эту геодезическую во все другие времениподобные геодезические. Поскольку эти сечения представляют собой замкнутые кривые (эллипсы) (для собственно пространства AdS) или периодические по$t$координировать с периодом$2\pi$(для накрывающего пространства) мы доказали рассматриваемое утверждение (с правильным периодом) без явных вычислений. Кстати, решение$x(\tau) = A \sin(\tau) + B \cos(\tau)$становится очевидным путем встраивания пространства, с$A$и$B$исходя из лоренцевских преобразований$U$и$V$.

Фактические расчеты в вопросе ОП для геодезического уравнения верны до последнего уравнения. Следует помнить, что условие$g(u,u)=-1$дает нам зависимость между$A$и$B$константа$x(\tau)$и постоянная энергии$E$. А именно,$1+A^2+B^2=E^2$. В результате, если мы сдвинем$\tau\to \tau+\delta$устранить$A$, мы могли бы интегрировать$\dot{t}=f(\tau)$чтобы получить

$$\tan(t-t_0)=\frac{\tan(\tau)}{\sqrt{1+B^2}}.$$ Мы видим, что разность фаз между$t$и$\tau$никогда не бывает большим и обращается в нуль после каждого$\pi$. И так$x(t)$также будет периодическим с периодом$2\pi$.