Геометрическое доказательство Шюца инвариантности пространственно-временного интервала

Question

Геометрическое доказательство Шюца инвариантности пространственно-временного интервала

Левитт

Я пытаюсь понять доказательство того, что пространственно-временной интервал инвариантен для любых двух инерциальных наблюдателей. Я знаю, что легко получить результат, используя преобразование Лоренца, но я пытаюсь понять геометрический способ сделать это, в частности, как это сделано в Schutz . Доказательство начинается на странице 9 по приведенной выше ссылке. Вдаваясь в подробности, я не мог понять следующую часть.

Как только мы придем к результату $\Delta \bar s^2 = \phi(v) \Delta s^2$ , мы приступаем к доказательству сначала, что $\phi(v) = \phi(|v|)$ а потом $\phi(v) = 1$ . Чтобы доказать первую часть, мы выбираем конкретный класс пары наблюдателей $O$ и $\bar O$ где относительная скорость $v$ перпендикулярно длине стержня на $y$ -ось (по существу $y=\bar y$ и $z= \bar z$ ), а затем показать, что $\phi(v) = \phi(|v|)$ .

Следующая часть утверждает, что этот персонаж $\phi(v)$ верно для любого общего класса пары наблюдателей (например, $O$ и $\bar O$ где относительная скорость $v$ такой, что $y \neq \bar y$ и $z \neq \bar z$ ). Я не мог понять это расширение. Я ищу какое-то объяснение на этом шаге. Спасибо, любая помощь приветствуется.

Левитт

Я изменил ссылку на книги Google.

Майк Белл

Я также полностью сбит с толку этим шагом в логике.

Майк Белл

Я вижу, что никто не ответил на ваш вопрос, но мне интересно, смогли ли вы ответить на него сами. Меня реально смущает скачок в логике доказательства из

ϕ (v) = ϕ (| v |)

$\phi(\mathbf{v}) = \phi(\left|\mathbf{v}\right|)$ . Вы понимаете (теперь, когда у вас есть пара лет, чтобы подумать об этом :))?

Левитт

Привет, я не помню, смог ли я ответить на него сам себе. Прошло очень много времени с тех пор, как я в последний раз работал над теорией относительности. Но я потрачу некоторое время в ближайшие несколько дней, чтобы посмотреть, смогу ли я это понять, хотя я не могу гарантировать, что смогу решить эту проблему. Я дам вам знать, если я что-нибудь сказать. Если вы застряли на этом этапе, я предлагаю вам оставить эту часть в покое и двигаться дальше.

Ответы (2)

Геометрическое доказательство Шюца инвариантности пространственно-временного интервала

Я также полностью сбит с толку этим шагом в логике.
Я вижу, что никто не ответил на ваш вопрос, но мне интересно, смогли ли вы ответить на него сами. Меня реально смущает скачок в логике доказательства из $\phi(\mathbf{v}) = \phi(\left|\mathbf{v}\right|)$ . Вы понимаете (теперь, когда у вас есть пара лет, чтобы подумать об этом :))?
Привет, я не помню, смог ли я ответить на него сам себе. Прошло очень много времени с тех пор, как я в последний раз работал над теорией относительности. Но я потрачу некоторое время в ближайшие несколько дней, чтобы посмотреть, смогу ли я это понять, хотя я не могу гарантировать, что смогу решить эту проблему. Я дам вам знать, если я что-нибудь сказать. Если вы застряли на этом этапе, я предлагаю вам оставить эту часть в покое и двигаться дальше.

Эшли Чрайя · Answer 1

Да, логика, представленная в schutz, неверна, хотя правильной логикой было бы то, что пространство и время однородны и изотропны. На самом деле ϕ может быть функцией скорости и координат пространства-времени, но из-за однородности пространства на мгновение мы можем сказать, что функция зависит от скорости только потому, что однородность пространства говорит, что каждая точка в пространстве эквивалентна, поэтому любая система координат O' мы выбираем, может быть смещено в начало исходного кадра. Теперь, используя изотропию пространства, мы можем сказать, что куда бы ни перемещалась система O ', не имеет значения, в каком направлении, это даст тот же результат, что и некоторый эксперимент (который мы называем событием). Таким образом, функция зависит только от скорости и дополнительных аргументов. заданное Шютцем, можно применить, чтобы получить ϕ(v)=1.

Фробениус · Answer 2

Пусть две инерциальные системы $\;\mathrm S_1,\mathrm S_2\;$ с общей осью $\;x_1\equiv x_2\;$ и параллельные оси $\;y_1\parallel y_2\;$ и $\;z_1\parallel z_2$ . Система $\;\mathrm S_2\;$ движется по общей оси $\;x_1\equiv x_2\;$ с постоянным вектором скорости $\;\boldsymbol{\upsilon}\;$ как на рисунке. Для пространственно-временных интервалов

\begin{matrix} (01) & д с_{1}^{2} "=" д т_{1}^{2} - д {Икс}_{1}^{2} - д у_{1}^{2} - д г_{1}^{2}, д с_{2}^{2} "=" д т_{2}^{2} - д {Икс}_{2}^{2} - д у_{2}^{2} - д г_{2}^{2} \end{matrix}

$\begin{equation} \mathrm ds^2_1 \boldsymbol{=}\mathrm dt^2_1\!\boldsymbol{-}\!\mathrm dx^2_1\!\boldsymbol{-}\!\mathrm dy^2_1\!\boldsymbol{-}\!\mathrm dz^2_1\,, \quad \mathrm ds^2_2 \boldsymbol{=}\mathrm dt^2_2\!\boldsymbol{-}\!\mathrm dx^2_2\!\boldsymbol{-}\!\mathrm dy^2_2\!\boldsymbol{-}\!\mathrm dz^2_2 \tag{01}\label{eq01} \end{equation}$ у нас есть

\begin{matrix} (02) & д с_{2}^{2} "=" ф (υ) д с_{1}^{2} \end{matrix}

$\begin{equation} \mathrm ds^2_2 \boldsymbol{=}\phi\left(\boldsymbol{\upsilon}\right)\mathrm ds^2_1 \tag{02}\label{eq02} \end{equation}$ где

ϕ (υ)

$\;\phi\left(\boldsymbol{\upsilon}\right)\;$ функция векторной переменной

υ

$\;\boldsymbol{\upsilon}\;$ быть определенным.

Теперь предположим третью систему $\;\mathrm S_3\;$ в состоянии покоя относительно $\;\mathrm S_2\;$ с общей осью $\;y_2\equiv y_3\;$ и антипараллельные оси $\;x_3\parallel \boldsymbol{-} x_2\;$ и $\;z_3\parallel \boldsymbol{-} z_2\;$ . Затем

\begin{matrix} (03) & д с_{3}^{2} "=" д с_{2}^{2} \overset{(02)}{"=" "="} ф (υ) д с_{1}^{2} \end{matrix}

$\begin{equation} \mathrm ds^2_3 \boldsymbol{=}\mathrm ds^2_2 \stackrel{\eqref{eq02}}{\boldsymbol{=\!=}}\phi\left(\boldsymbol{\upsilon}\right)\mathrm ds^2_1 \tag{03}\label{eq03} \end{equation}$

Также пусть четвертая система $\;\mathrm S_4\;$ в состоянии покоя относительно $\;\mathrm S_1\;$ с общей осью $\;y_4\equiv y_1\;$ и антипараллельные оси $\;x_4\parallel \boldsymbol{-} x_1\;$ и $\;z_4\parallel \boldsymbol{-} z_1\;$ . Тогда система $\;\mathrm S_4\;$ движется относительно $\;\mathrm S_3\;$ с постоянным вектором скорости $\;\boldsymbol{\upsilon}\;$ вдоль общей оси $\;x_3\equiv x_4$ . Конфигурация систем $\;\mathrm S_3,\mathrm S_4\;$ во всех отношениях идентичен $\;\mathrm S_1,\mathrm S_2\;$ (это более ясно, если смотреть на Фигуру со спины). Так

\begin{matrix} (04) & д с_{4}^{2} "=" ф (υ) д с_{3}^{2} \overset{(03)}{"=" "="} ф^{2} (υ) д с_{1}^{2} \end{matrix}

$\begin{equation} \mathrm ds^2_4 \boldsymbol{=}\phi\left(\boldsymbol{\upsilon}\right)\mathrm ds^2_3\stackrel{\eqref{eq03}}{\boldsymbol{=\!=}}\phi^2\left(\boldsymbol{\upsilon}\right)\mathrm ds^2_1 \tag{04}\label{eq04} \end{equation}$

Теперь система $\;\mathrm S_1\;$ находится в состоянии покоя относительно $\;\mathrm S_4\;$ так

\begin{matrix} (05) & д с_{1}^{2} "=" д с_{4}^{2} \overset{(04)}{"=" "="} ф^{2} (υ) д с_{1}^{2} \end{matrix}

$\begin{equation} \mathrm ds^2_1\boldsymbol{=}\mathrm ds^2_4\stackrel{\eqref{eq04}}{\boldsymbol{=\!=}}\phi^2\left(\boldsymbol{\upsilon}\right)\mathrm ds^2_1 \tag{05}\label{eq05} \end{equation}$ то есть у нас должно быть

\begin{matrix} (06) & ф^{2} (υ) "=" 1 \end{matrix}

$\begin{equation} \phi^2\left(\boldsymbol{\upsilon}\right)\boldsymbol{=}1 \tag{06}\label{eq06} \end{equation}$ или

\begin{matrix} (07) & ф (υ) "=" \pm 1 \end{matrix}

$\begin{equation} \phi\left(\boldsymbol{\upsilon}\right)\boldsymbol{=\pm}1 \tag{07}\label{eq07} \end{equation}$ Но для

υ = 0

$\;\boldsymbol{\upsilon=0}\;$ системы

S_{1}, S_{2}

$\;\mathrm S_1,\mathrm S_2\;$ идентичны, поэтому в

(02)

$\eqref{eq02}$ мы должны иметь

d s_{2}^{2} = d s_{1}^{2}

$\;\mathrm ds^2_2 \boldsymbol{=}\mathrm ds^2_1\;$ , то есть

ϕ (0) = + 1

$\;\phi\left(\boldsymbol{0}\right)\boldsymbol{=+}1\;$ и

(07)

$\eqref{eq07}$ урожаи

\begin{matrix} (08) & ф (υ) "=" + 1, для любого υ \end{matrix}

$\begin{equation} \phi\left(\boldsymbol{\upsilon}\right)\boldsymbol{=+}1\,, \quad \text{for any } \boldsymbol{\upsilon} \tag{08}\label{eq08} \end{equation}$

Геометрическое доказательство Шюца инвариантности пространственно-временного интервала

Левитт

Левитт

Майк Белл

Майк Белл

Левитт

Ответы (2)

Эшли Чрайя

Свидание со свободой

Фробениус

Доказательство единственности преобразования между релятивистскими системами отсчета

Чистый импульс Лоренца; транспонировать ≠≠\neq наоборот?

Однородность пространства подразумевает линейность преобразований Лоренца

Являются ли преобразования Лоренца линейными преобразованиями? [дубликат]

Вывод преобразования Лоренца

Гиперболическое вращение пространства-времени и преобразование Лоренца

Как вывести пространственно-временной интервал из преобразования Лоренца?

Проблема вывода преобразования Лоренца из однородности и изотропии пространства-времени и принципа относительности

Вопросы по специальной теории относительности, индекс в матрице Лоренца

Получение преобразования Лоренца