Можем ли мы доказать это без явного вычисления?

Да. Вы можете сделать это, используя теорему Вигнера-Экарта, которая даст

$$\begin{align} \langle 2,-1\vert z\vert 1,-1\rangle &=\frac{\langle 2\Vert r\Vert 1\rangle}{\sqrt{5}}C^{2,-1}_{1,0;1,-1}\, ,\\ \langle 2,0\vert z\vert 1,0\rangle &=\frac{\langle 2\Vert r\Vert 1\rangle}{\sqrt{5}}C^{2,0}_{1,0;1,0} \end{align}$$ так что $$\begin{align} \frac{\langle 2,-1\vert z\vert 1,-1\rangle }{\langle 2,0\vert z\vert 1,0\rangle} = \frac{C^{2,-1}_{1,0;1,-1}}{C^{2,0}_{1,0;1,0}}=\frac{1/\sqrt{2}}{\sqrt{2/3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\, . \end{align}$$ Приведенный матричный элемент$\langle 2\Vert r\Vert 1\rangle$а фактор размерности хорошо сокращается из отношения, и у вас остается отношение Клебша.

Лестничные операторы (по крайней мере операторы углового момента) не могут связывать состояния с разными$\ell$так что вы не можете использовать это для подключения$\ell=2$государства и$\ell=1$состояния. «Лестница» осуществляется за счет тензорной природы$\{\hat x\pm i \hat y,\hat z\}$операторы: как компоненты$L=1$тензор, их действие на$\ell$состояния могут соединять начальные состояния углового момента$\ell$в штаты с$L'=\ell+1,\ell,\ell-1$через$\ell\otimes 1=\ell+1\oplus\ell\oplus \ell-1$.