Гиперзаряд для U(1)U(1)U(1) в модели SU(2)×U(1)SU(2)×U(1)SU(2)\times U(1)

1) Во-первых, гиперзаряд обычно относится к (сильному) гиперзаряду $Y$связанные с сильным взаимодействием и (сильным) изоспином $(\vec{I}^2,I_3)$. Напротив, вопрос (v1) касается слабого изоспина $(\vec{T}^2,T_3)$и слабый гиперзаряд $Y_W$электрослабой калибровочной группы Ли $SU(2)\times U(1)$модели Глэшоу-Салама-Вайнберга (GSW) .

2) Во-вторых, есть проблема нормализации. Некоторые авторы (например, Пескин и Шредер, О.П.) определяют

$$Y_W~:=~Q-T_3,$$

куда

$$Q~=~\frac{q}{e}$$

- электрический заряд в единицах элементарного заряда$e$, в то время как другие авторы (например, Википедия )

$$Y_W~:=~2(Q-T_3).$$

Если OP использует последнее соглашение, его "$-1/2$"превратится в более естественный"$-1$", ха-ха. :-) Ну, я шучу: выбор нормализации, конечно, ничего не объясняет.

3) Элементарная частица в модели GSW переходит в представление алгебры Ли

$$\rho: L~\to~ gl(V)$$

электрослабой калибровочной алгебры Ли$su(2) \oplus u(1)$. (Существуют также теории Великого объединения (GUT) с более крупными калибровочными алгебрами Ли, например,$su(5)$, ср. комментарий Ариверо. Однако здесь мы сосредоточимся в основном на исходном вопросе OP (v1) для простоты.) Напомним, что элемент алгебры Ли

$$x~=~\sum_a x^at_a~\in~ L$$

в абстрактной алгебре Ли $L$может быть записана как линейная комбинация некоторых базовых элементов$t_a$. $t_a$также известны как генераторы алгебры Ли. Очевидно, что если изменить базис, то получится новый набор образующих$t^{\prime}_a$.

4) Неабелева калибровочная теория имеет калибровочное поле со значениями в алгебре Ли

$$A_{\mu}~=~\sum_a A_{\mu}^a t_a.$$

В случае электрослабой теории генераторы алгебры Ли$t_a$находятся

$$(T_1,T_2,T_3,Y_W),$$

куда$(T_1,T_2,T_3)$являются генераторами$su(2)$. В этом смысле слабый гиперзаряд$Y_W$играет двойную роль в модели GSW:

1. Во-первых,$Y_W$является генератором алгебры Ли для$u(1)$Подалгебра Ли. В неприводимом представлении$\rho: u(1)\to {\rm Mat}_{1 \times 1}(\mathbb{C})$алгебры Ли$u(1)$, становится неким$1 \times 1$матрица, например,
   

   $$\rho(Y_W)~=~-1/2.$$ Часто авторы не удосуживаются упомянуть карту представления$\rho$явно.

2. Во-вторых,$Y_W$описывает особый тип физического заряда, называемый слабым гиперзарядом , который зависит от типа элементарной частицы.

Пока вы не меняете базис и придерживаетесь той же нормализации (см. пункт 2 выше!), эти две двойные роли полностью согласованы.

Гиперзаряд в электрослабой модели полностью определяется электрическим зарядом наблюдаемых частиц. В одной обычной нормировке, нормировке Пескина-Шредера, это просто средний электрический заряд всех частиц, содержащихся в слабом SU(2)-представлении. Слабое представление SU (2) определяется частицами, которые могут превращаться друг в друга за счет слабых взаимодействий, так что (левый) электрон и нейтрино являются партнерами.

Слабые представления SU(2) подобны спину — они имеют одно состояние каждого значения «L_z», называемое I_z, от -m до m. Для целей этого обсуждения предположим, что у вас есть слабая частица SU(2) со спином 2,5 с гиперзарядом "Y". Тогда действительные значения электрического заряда частиц будут

-2,5 + Y, -1,5 + Y, -,5 + Y, 0,5 + Y, 1,5 + Y, 2,5 + Y

Y — смещение электрического заряда, а значение спина SU(2) определяет диапазон. Шаги всегда на единицу. В этом смысл формулы

$$Q = I_z + Y$$

Для наблюдаемых слабых партнеров, электрона-нейтрино и электрона, заряды равны 0,-1, поэтому гиперзаряд есть среднее значение, или -1/2. Для слабых партнеров вверх-кварк, вниз-кварк заряды составляют 2/3, -1/3, поэтому гиперзаряд является средним из двух: 1/6.

Но только левые части электрона и кварков являются SU(2)-партнерами. Правые части не имеют партнера. Правые части имеют букву Y, которая представляет собой их электрический заряд. Правый электрон имеет Y = -1, правый верхний кварк Y = 2/3, а правый нижний кварк Y = -1/3. Это просто для того, чтобы у них был такой же электрический заряд, как у их партнера-левши, чтобы вместе они могли образовать массивную заряженную частицу.

Одна естественная нормализация гиперзаряда — это не Википедия и не Пескин Шредер. Это с точки зрения наибольшего рационального значения, которое дает всем частицам стандартной модели целые гиперзаряды. Это значение равно 1/6. В терминах, кратных 1/6, все частицы стандартной модели имеют гиперзаряд 1, 2, 3, 4 и 6 единиц.

Но это предполагает, что U(1) гиперзаряда с его сумасшедшими значениями является фундаментальным, что крайне маловероятно. Наиболее естественный выбор нормализации происходит при встраивании SU (2) и SU (3) в SU (5) (или более высокий GUT того же типа, например SO (10) или E6). В этом вложении вы думаете о SU (5) как о матрице 5 на 5, верхний блок 2 на 2 — это SU (2), нижний блок 3 на 3 — это SU (3), а U (1) состоит всех диагональных фазовых матриц (a,a,b,b,b), где a^2b^3=1, так что эта фаза генерируется

$\mathrm{diag}(1/2, 1/2, -1/3, -1/3, -1/3)$

Это означает, что если вы вращаете диагональную матрицу с$(e^{i\theta/2},e^{i\theta/2}, e^{-i\theta/3}, e^{-i\theta/3}, e^{-i\theta/3})$по диагонали вы все еще находитесь в SU(5), но уже не в SU(2)xSU(3).

Дело в определяющем представлении SU(5) плюс антисимметричное двухтензорное представление. Разложение этих двух представлений легко и естественно объясняет назначение гиперзаряда стандартной модели. См. этот ответ: есть ли краткое, но тщательное изложение Стандартной модели?

Краткий ответ о множителе 1/2 заключается в том, что в конце$e_L$должен получить заряд$-e$пока$\nu_L$должен получить нулевой заряд.

$-e\left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} \nu_L \\ e_L \end{array} \right) ~~=~~ \left[-\frac{g}{2}\left( \begin{array}{cc} 1 & ~~0 \\ 0 & -1 \end{array} \right)\sin\theta_w ~~+~~ y\frac{g'}{2}\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)\cos\theta_w\right]\left( \begin{array}{c} \nu_L \\ e_L \end{array} \right)$

Где первый член в правой части представляет собой вклад третьего компонента ($\sigma^z$) поля SU(2), а второй член связан с гиперзарядом, связанным с полем U(1). Их сочетание определяется углом Вайнберга.$\theta_w$

С другой стороны, для электрического заряда$e_R$у нас есть

$-e\left(e_R\right) ~~=~~ y\,g'\cos\theta_w(e_R)$

Так$e_L$имеет только половину гиперзаряда, как$e_R$потому что он получает другую половину своего электрического заряда от его смешения с третьим компонентом поля SU(2). Решение для обоих, конечно, дается:

$g=\frac{-e}{\sin\theta_w}, ~~~~~~~~ g'=\frac{-e}{cos\theta_w}$

(с использованием обозначения знака Вайнберга), что упрощает первое уравнение до:

$-e\left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} \nu_L \\ e_L \end{array} \right) ~~=~~ \left[\frac{e}{2}\left( \begin{array}{cc} 1 & ~~0 \\ 0 & -1 \end{array} \right) ~~-~~ y\frac{e}{2}\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)\right]\left( \begin{array}{c} \nu_L \\ e_L \end{array} \right)$

Это ясно показывает, что он получает 1/2 электрического заряда от гиперзаряда поля U(1) и половину электрического заряда от третьего компонента поля SU(2).

С уважением, Ханс