Глупый вопрос о кинематике и символах Кристоффеля

Question

Глупый вопрос о кинематике и символах Кристоффеля

МНРая

Интересный «метод», позволяющий узнать вектор ускорения по отношению к любой системе координат, — это всего лишь вопрос распознавания некоторых ключевых формул.

1) Дана метрика определенного линейного элемента конкретной системы координат. Найдите метрический тензор:

г с^{2} "=" г_{γ β} г {Икс}^{γ} г {Икс}^{β}

$ds^{2} = g_{\gamma \beta} dx^{\gamma}dx^{\beta}$

2) Учитывая «определение» символов Кристоффеля. Вычислите все символы Кристоффеля:

Г_{мю ν}^{α} "=" г^{дельта α} {г_{мю дельта, ν} + г_{ν дельта, мю} - г_{мю ν, дельта}}

$\displaystyle \Gamma ^{\alpha} _{\mu \nu} = g^{\delta \alpha} \Big\{ g_{\mu \delta,\nu} + g_{\nu \delta,\mu} - g_{\mu \nu,\delta} \Big\}$

3) Рассчитать компоненты «обобщенной силы»:

\vec{Ф} "=" м \vec{а} "=" м (а^{α} \frac{\partial}{\partial {Икс}^{α}}) "=" (м а^{α}) \frac{\partial}{\partial {Икс}^{α}} "=" ф^{α} \frac{\partial}{\partial {Икс}^{α}}

$\vec{F} = m\vec{a} = m \Big(a^{\alpha}\frac{\partial}{\partial x^{\alpha}} \Big) = \Big(m a^{\alpha} \Big) \frac{\partial}{\partial x^{\alpha}} = f^{\alpha} \frac{\partial}{\partial x^{\alpha}}$

ф^{α} "=" (м а^{α}) "=" м (\frac{г^{2} {Икс}^{α}}{г т^{2}} + Г_{мю ν}^{α} \frac{г {Икс}^{мю}}{г т} \frac{г {Икс}^{ν}}{г т})

$f^{\alpha} = \Big(m a^{\alpha}\Big) = m \Big( \frac{d^{2}x^{\alpha}}{dt^{2}}+\displaystyle \Gamma ^{\alpha} _{\mu \nu} \frac{dx^{\mu}}{dt}\frac{dx^{\nu}}{dt} \Big)$

4) Вычислить «физические компоненты» обобщенного (контравариантного) вектора силы и унитарных базисных векторов для сферической системы координат:

Согласно Сочи, страницы (19-20) [ https://arxiv.org/pdf/1610.04347.pdf] :

Для контравариантного вектора имеем:

$\vec{А} "=" А^{мю} \frac{\partial}{\partial {Икс}^{мю}}$ $\vec{A} = A^{\mu}\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}$

Теперь физическое представление базисных (ковариантных) векторов (унитарных базисных векторов):

${\hat{е}}_{мю} "=" \frac{\partial}{\partial {Икс}^{мю}} \frac{1}{\sqrt{г_{мю мю}}} \equiv \frac{\partial}{\partial {Икс}^{мю}} \frac{1}{{час}_{мю}}$ $\hat{e}_{\mu}= \frac{\partial}{\partial x^{\mu}} \frac{1}{\sqrt{g_{\mu \mu}}} \equiv \frac{\partial}{\partial x^{\mu}} \frac{1}{h_{\mu}}$ (Нет суммы в $\mu$ )

И физическое представление для (контравариантных) компонентов:

$А_{п час у с я с а л}^{мю} "=" \sqrt{г_{мю мю}} А^{мю} \equiv {час}_{мю} А^{мю}$ $A^{\mu}_{physical} = \sqrt{g_{\mu \mu}} A^{\mu} \equiv h_{\mu}A^{\mu}$

Тогда для силы имеем:

{\vec{Ф}}_{п час у с я с а л} "=" м {\vec{а}}_{п час у с я с а л} "=" [\sqrt{г_{α α}} ф^{α}] [\frac{1}{\sqrt{г_{α α}}} \frac{\partial}{\partial {Икс}^{α}}]

$\vec{F}_{physical} = m \vec{a}_{physical} = \Big[\sqrt{g_{\alpha \alpha}}f^{\alpha}\Big] \Big[ \frac{1}{\sqrt{g_{\alpha \alpha}}} \frac{\partial}{\partial x^{\alpha}} \Big]$

5) Настройка $m=1$ , то у вас есть вектор ускорения (физический):

{\vec{Ф}}_{п час у с я с а л} "=" 1 {\vec{а}}_{п час у с я с а л}

$\vec{F}_{physical} = 1 \vec{a}_{physical}$

{\vec{а}}_{п час у с я с а л} "=" [\sqrt{г_{α α}} а^{α}] [\frac{1}{\sqrt{г_{α α}}} \frac{\partial}{\partial {Икс}^{α}}]

$\vec{a}_{physical} = \Big[\sqrt{g_{\alpha \alpha}}a^{\alpha}\Big] \Big[ \frac{1}{\sqrt{g_{\alpha \alpha}}} \frac{\partial}{\partial x^{\alpha}} \Big]$

Например :

1) Нам известен метрический тензор из линейного элемента сферических координат:

г с^{2} "=" г р^{2} + р^{2} г θ^{2} + р^{2} с я н^{2} (θ) г ф^{2} ⟹

$ds^{2} = dr^{2} + r^{2}d\theta^{2} + r^{2}sin^{2}(\theta) d\phi^{2} \implies$

г_{γ β}^{с п час е р я с а л} "=" Д я а г (1, р^{2}, р^{2} с я н^{2} (θ))

$g^{spherical}_{\gamma \beta} = Diag (1, r^{2}, r^{2}sin^{2}(\theta))$

2) Ненулевые символы Кристоффеля:

Г_{θ θ}^{р} "=" - р Г_{ф ф}^{р} "=" - р с я н^{2} (θ) Г_{ф ф}^{θ} "=" - с я н (θ) с о с (θ) Г_{р θ}^{θ} "=" Г_{θ р}^{θ} "=" \frac{1}{р} Г_{р ф}^{ф} "=" Г_{ф р}^{ф} "=" \frac{1}{р} Г_{θ ф}^{ф} "=" Г_{ф θ}^{ф} "=" с о т г (θ)

$\Gamma ^{r}_{\theta \theta} = -r \\ \Gamma ^{r}_{\phi \phi} = -rsin^{2}(\theta) \\ \Gamma ^{\theta}_{\phi \phi} = -sin(\theta) cos(\theta) \\ \Gamma ^{\theta}_{r\theta} = \Gamma ^{\theta}_{\theta r} = \frac{1}{r}\\ \Gamma ^{\phi}_{r\phi} = \Gamma ^{\phi}_{\phi r} = \frac{1}{r} \\ \Gamma ^{\phi}_{\theta \phi} = \Gamma ^{\phi}_{\phi \theta} = cotg(\theta)$

3) Компоненты обобщенной силы:

ф^{р} "=" м (\ddot{р} - р {\dot{θ}}^{2} - р с я н^{2} (θ) {\dot{ф}}^{2})

$f^{r} = m\Big( \ddot{r} - r\dot{\theta}^2 - rsin^{2}(\theta) \dot{\phi}^{2} \Big)$

ф^{θ} "=" м (\ddot{θ} + 2 \frac{1}{р} \dot{р} \dot{θ} - с я н (θ) потому что (θ) {\ddot{ф}}^{2})

$f^{\theta} = m\Big(\ddot{\theta} +2\frac{1}{r}\dot{r}\dot{\theta} - sin(\theta)\cos(\theta)\ddot{\phi}^{2} \Big)$

ф^{ф} "=" м (\ddot{ф} + 2 \frac{1}{р} \dot{р} \dot{θ} + 2 с о т г (θ) \dot{ф} \dot{θ})

$f^{\phi} = m\Big(\ddot{\phi} +2\frac{1}{r}\dot{r}\dot{\theta} + 2cotg(\theta) \dot{\phi} \dot{\theta} \Big)$

Тогда вектор силы равен:

\vec{Ф} "=" ф^{р} \frac{\partial}{\partial {Икс}^{р}} + ф^{θ} \frac{\partial}{\partial {Икс}^{θ}} + ф^{ф} \frac{\partial}{\partial {Икс}^{ф}} ⟹

$\vec{F} = f^{r}\frac{\partial}{\partial x^{r}} + f^{\theta}\frac{\partial}{\partial x^{\theta}}+f^{\phi}\frac{\partial}{\partial x^{\phi}} \implies$

\vec{Ф} "=" [м (\ddot{р} - р {\dot{θ}}^{2} - р с я н^{2} (θ) {\dot{ф}}^{2})] \frac{\partial}{\partial {Икс}^{р}} + [м (\ddot{θ} + 2 \frac{1}{р} \dot{р} \dot{θ} - с я н (θ) потому что (θ) {\ddot{ф}}^{2})] \frac{\partial}{\partial {Икс}^{θ}} + [м (\ddot{ф} + 2 \frac{1}{р} \dot{р} \dot{θ} + 2 с о т г (θ) \dot{ф} \dot{θ})] \frac{\partial}{\partial {Икс}^{ф}}

$\vec{F} =\Big[ m\Big( \ddot{r} - r\dot{\theta}^2 - rsin^{2}(\theta) \dot{\phi}^{2} \Big) \Big] \frac{\partial}{\partial x^{r}}\\+ \Big[ m\Big(\ddot{\theta} +2\frac{1}{r}\dot{r}\dot{\theta} - sin(\theta)\cos(\theta)\ddot{\phi}^{2} \Big) \Big]\frac{\partial}{\partial x^{\theta}}\\+\Big[ m\Big(\ddot{\phi} +2\frac{1}{r}\dot{r}\dot{\theta} + 2cotg(\theta) \dot{\phi} \dot{\theta} \Big) \Big]\frac{\partial}{\partial x^{\phi}}$

4) Тогда физические компоненты и вектор:

{\vec{Ф}}_{п час у с я с а л} "=" [\sqrt{г_{α α}} ф^{α}] [\frac{1}{\sqrt{г_{α α}}} \frac{\partial}{\partial {Икс}^{α}}] "=" \sqrt{г_{р р}} ф^{р} \frac{1}{\sqrt{г_{р р}}} \frac{\partial}{\partial {Икс}^{р}} + \sqrt{г_{θ θ}} ф^{θ} \frac{1}{\sqrt{г_{θ θ}}} \frac{\partial}{\partial {Икс}^{θ}} + \sqrt{г_{ф ф}} ф^{ф} \frac{1}{\sqrt{г_{ф ф}}} \frac{\partial}{\partial {Икс}^{ф}} ⟹

$\vec{F}_{physical} = \Big[\sqrt{g_{\alpha \alpha}}f^{\alpha}\Big] \Big[ \frac{1}{\sqrt{g_{\alpha \alpha}}} \frac{\partial}{\partial x^{\alpha}} \Big] = \sqrt{g_{rr}}f^{r} \frac{1}{\sqrt{g_{rr}}} \frac{\partial}{\partial x^{r}} + \sqrt{g_{\theta \theta}}f^{\theta} \frac{1}{\sqrt{g_{\theta \theta}}} \frac{\partial}{\partial x^{\theta}}+ \sqrt{g_{\phi \phi}}f^{\phi} \frac{1}{\sqrt{g_{\phi \phi}}} \frac{\partial}{\partial x^{\phi}} \implies$

{\vec{Ф}}_{п час у с я с а л} "=" [м (\sqrt{г_{р р}} \ddot{р} - \sqrt{г_{р р}} р {\dot{θ}}^{2} - \sqrt{г_{р р}} р с я н^{2} (θ) {\dot{ф}}^{2})] \frac{1}{\sqrt{г_{р р}}} \frac{\partial}{\partial {Икс}^{р}} + [м (\sqrt{г_{θ θ}} \ddot{θ} + \sqrt{г_{θ θ}} 2 \frac{1}{р} \dot{р} \dot{θ} - \sqrt{г_{θ θ}} с я н (θ) потому что (θ) {\ddot{ф}}^{2})] \frac{1}{\sqrt{г_{θ θ}}} \frac{\partial}{\partial {Икс}^{θ}} + [м (\sqrt{г_{ф ф}} \ddot{ф} + \sqrt{г_{ф ф}} 2 \frac{1}{р} \dot{р} \dot{θ} + \sqrt{г_{ф ф}} 2 с о т г (θ) \dot{ф} \dot{θ})] \frac{1}{\sqrt{г_{ф ф}}} \frac{\partial}{\partial {Икс}^{ф}} ⟹

$\vec{F}_{physical}= \Big[ m\Big( \sqrt{g_{rr}}\ddot{r} -\sqrt{g_{rr}} r\dot{\theta}^2 - \sqrt{g_{rr}}rsin^{2}(\theta) \dot{\phi}^{2} \Big) \Big]\frac{1}{\sqrt{g_{rr}}} \frac{\partial}{\partial x^{r}}\\+ \Big[ m\Big( \sqrt{g_{\theta \theta}}\ddot{\theta} +\sqrt{g_{\theta \theta}}2\frac{1}{r}\dot{r}\dot{\theta} -\sqrt{g_{\theta \theta}} sin(\theta)\cos(\theta)\ddot{\phi}^{2} \Big) \Big] \frac{1}{\sqrt{g_{\theta \theta}}} \frac{\partial}{\partial x^{\theta}}\\+\Big[ m\Big(\sqrt{g_{\phi \phi}}\ddot{\phi} +\sqrt{g_{\phi \phi}}2\frac{1}{r}\dot{r}\dot{\theta} +\sqrt{g_{\phi \phi}} 2cotg(\theta) \dot{\phi} \dot{\theta} \Big) \Big] \frac{1}{\sqrt{g_{\phi \phi}}}\frac{\partial}{\partial x^{\phi}} \implies$

{\vec{Ф}}_{п час у с я с а л} "=" [м (1 \ddot{р} - 1 р {\dot{θ}}^{2} - 1 р с я н^{2} (θ) {\dot{ф}}^{2})] \frac{1}{1} \frac{\partial}{\partial {Икс}^{р}} + [м (р \ddot{θ} + р 2 \frac{1}{р} \dot{р} \dot{θ} - р с я н (θ) потому что (θ) {\ddot{ф}}^{2})] \frac{1}{р} \frac{\partial}{\partial {Икс}^{θ}} + [м (\sqrt{р^{2} с я н^{2} (θ)} \ddot{ф} + \sqrt{р^{2} с я н^{2} (θ)} 2 \frac{1}{р} \dot{р} \dot{θ} + \sqrt{р^{2} с я н^{2} (θ)} 2 с о т г (θ) \dot{ф} \dot{θ})] \frac{1}{р с я н (θ)} \frac{\partial}{\partial {Икс}^{ф}} ⟹

$\vec{F}_{physical}=\Big[ m\Big( 1 \ddot{r} -1 r\dot{\theta}^2 - 1 rsin^{2}(\theta) \dot{\phi}^{2} \Big) \Big] \frac{1}{1}\frac{\partial}{\partial x^{r}}\\+ \Big[ m\Big( r \ddot{\theta} +r2\frac{1}{r}\dot{r}\dot{\theta} -r sin(\theta)\cos(\theta)\ddot{\phi}^{2} \Big) \Big] \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial x^{\theta}}\\+\Big[ m\Big( \sqrt{r^{2}sin^{2}(\theta)}\ddot{\phi} +\sqrt{r^{2}sin^{2}(\theta)}2\frac{1}{r}\dot{r}\dot{\theta} +\sqrt{r^{2}sin^{2}(\theta)} 2cotg(\theta) \dot{\phi} \dot{\theta} \Big) \Big] \frac{1}{rsin(\theta)}\frac{\partial}{\partial x^{\phi}} \implies$

5) Настройка $m=1$ , у нас есть хорошо известный вектор ускорения в сферических координатах:

{\vec{а}}_{п час у с я с а л} "=" (\ddot{р} - р {\dot{θ}}^{2} - р с я н^{2} (θ) {\dot{ф}}^{2}) \frac{1}{1} \frac{\partial}{\partial {Икс}^{р}} + (р \ddot{θ} + 2 \dot{р} \dot{θ} - р с я н (θ) потому что (θ) {\ddot{ф}}^{2}) \frac{1}{р} \frac{\partial}{\partial {Икс}^{θ}} + (р с я н (θ) + 2 с я н (θ) \dot{р} \dot{ф} + 2 р с о с (θ) \dot{ф} \dot{θ}) \frac{1}{р с я н (θ)} \frac{\partial}{\partial {Икс}^{ф}} ⟹

$\vec{a}_{physical} =\Big( \ddot{r} -r\dot{\theta}^2 - rsin^{2}(\theta) \dot{\phi}^{2} \Big)\frac{1}{1}\frac{\partial}{\partial x^{r}}\\+\Big( r \ddot{\theta} +2\dot{r}\dot{\theta} -r sin(\theta)\cos(\theta)\ddot{\phi}^{2} \Big) \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial x^{\theta}}\\+\Big( rsin(\theta) + 2sin(\theta)\dot{r}\dot{\phi}+2rcos(\theta)\dot{\phi}\dot{\theta} \Big)\frac{1}{rsin(\theta)}\frac{\partial}{\partial x^{\phi}} \implies$

{\vec{а}}_{п час у с я с а л} "=" (\ddot{р} - р {\dot{θ}}^{2} - р с я н^{2} (θ) {\dot{ф}}^{2}) {\hat{е}}_{р} + (р \ddot{θ} + 2 \dot{р} \dot{θ} - р с я н (θ) потому что (θ) {\ddot{ф}}^{2}) {\hat{е}}_{θ} + (р с я н (θ) + 2 с я н (θ) \dot{р} \dot{ф} + 2 р с о с (θ) \dot{ф} \dot{θ}) {\hat{е}}_{ф}

$\vec{a}_{physical} =\Big( \ddot{r} -r\dot{\theta}^2 - rsin^{2}(\theta) \dot{\phi}^{2} \Big)\hat{e}_{r}\\+\Big( r \ddot{\theta} +2\dot{r}\dot{\theta} -r sin(\theta)\cos(\theta)\ddot{\phi}^{2} \Big) \hat{e}_{\theta}\\+\Big( rsin(\theta) + 2sin(\theta)\dot{r}\dot{\phi}+2rcos(\theta)\dot{\phi}\dot{\theta} \Big)\hat{e}_{\phi}$

Теперь мой вопрос: как я могу вычислить векторы скорости и положения?

Причина этих ужасных вычислений проста, вам просто нужно знать несколько формул и как правильно вычислять частные производные. Затем вы получаете мощный метод вычисления уравнений движения в любой системе координат (также в плоском и искривленном пространстве).

Qмеханик

Небольшой комментарий к сообщению (v3): В будущем просьба ссылаться на страницы тезисов, а не на файлы в формате pdf.

Ответы (1)

Глупый вопрос о кинематике и символах Кристоффеля

Небольшой комментарий к сообщению (v3): В будущем просьба ссылаться на страницы тезисов, а не на файлы в формате pdf.

ГодоМисоги · Answer 1

Есть более быстрый способ вывести уравнения движения по принципу действия с использованием линейного элемента. Рассмотрим вариационный принцип:

А "=" \int г λ [г_{а б} (Икс) \frac{г {Икс}^{а}}{г λ} \frac{г {Икс}^{б}}{г λ} - В (Икс)]

$\mathcal A = \int \mathrm{d}\lambda \left[g_{ab}(x)\frac{\mathrm dx^a}{\mathrm d\lambda}\frac{\mathrm dx^b}{\mathrm d\lambda} -V(x)\right]$

где $\lambda$ — аффинный параметр (время в случае классической механики). Результирующие уравнения Эйлера-Лагранжа, которые дают вам уравнения движения:

\frac{г}{г λ} (г_{а б} \frac{г {Икс}^{а}}{г λ}) "=" \frac{1}{2} (\partial_{б} г_{я Дж}) \frac{г {Икс}^{я}}{г λ} \frac{г {Икс}^{Дж}}{г λ} - \partial_{б} В

$\frac{\mathrm d}{\mathrm d\lambda}\left(g_{ab}\frac{\mathrm dx^a}{\mathrm d\lambda}\right) = \frac{1}{2}(\partial_b g_{ij})\frac{\mathrm dx^i}{\mathrm d\lambda}\frac{\mathrm dx^j}{\mathrm d\lambda} - \partial_b V$

Так что считайте $\mathrm ds^2 = \mathrm dr^2 + r^2\mathrm d\theta^2 + r^2\sin^2\theta\,\mathrm d\phi^2 \implies g_{ab} = \text{diag}(1,r^2,r^2\sin^2\theta)$ :

А "=" \int г λ [{\dot{р}}^{2} + р^{2} {\dot{θ}}^{2} + р^{2} {грех}^{2} θ {\dot{ф}}^{2}], {\dot{Икс}}^{а} "=" \frac{г {Икс}^{а}}{г λ}

$\mathcal A = \int \mathrm d\lambda \left[\dot r^2 + r^2\dot \theta^2 + r^2\sin^2\theta\,\dot\phi^2 \right], \quad \dot x^a = \frac{\mathrm dx^a}{\mathrm d\lambda}$

И выведите уравнения движения по компонентам, прочитав уравнения Эйлера-Лагранжа:

\ddot{р} "=" р {\dot{θ}}^{2} + р {грех}^{2} θ {\dot{ф}}^{2} + а_{р}, [а_{б} "=" - \partial_{б} В]

$\ddot r = r\dot\theta^2 + r\sin^2\theta\,\dot\phi^2 + a_r, \quad [a_b =- \partial_b V]$

(\frac{г}{г λ} (р^{2} \dot{θ}) "=" р^{2} \ddot{θ} + 2 р \dot{р} \dot{θ}) "=" р^{2} грех θ потому что θ {\dot{ф}}^{2} + а_{θ}

$\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm d\lambda}(r^2\dot\theta) = r^2\ddot\theta + 2r\dot r\dot\theta\right) = r^2\sin\theta\cos\theta\,\dot\phi^2 + a_{\theta}$

(\frac{г}{г λ} (р^{2} {грех}^{2} θ \dot{ф}) "=" р^{2} {грех}^{2} θ \ddot{ф} + \dot{ф} [2 р \dot{р} {грех}^{2} θ + р^{2} \dot{θ} грех θ потому что θ]) "=" а_{ф}

$\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm d\lambda}(r^2\sin^2\theta\,\dot\phi) = r^2\sin^2\theta \,\ddot\phi +\dot\phi[2r\dot r\sin^2\theta + r^2\dot\theta\sin\theta\cos\theta] \right) = a_\phi$

И выберите свою основу (координатную или некоординатную; это меняет определение $a_b$ , например, в вашем случае: $a_b = \sqrt{-g_{bb}}\partial_b V$ ), затем считайте ваши символы Кристоффеля, не выполняя ненужных вычислений, которые заканчиваются нулями.

Чтобы ответить на ваш главный вопрос о нахождении векторов скорости и положения, вам нужно указать, какие внешние силы действуют на вашу систему (указав потенциал $V(x)$ ) и решите полученные дифференциальные уравнения, затем интегрируйте компоненты вашего вектора ускорения. К сожалению, насколько мне известно, не существует общего метода нахождения решений обыкновенных дифференциальных уравнений (в данном случае связанных). Таким образом, не существует общей алгоритмической процедуры (кроме численной) для определения решений классической системы без указания случаев.

Глупый вопрос о кинематике и символах Кристоффеля

МНРая

Qмеханик

Ответы (1)

ГодоМисоги

Помогите с символами Кристоффеля для задачи геометрической механики?

Каким должно быть строгое определение векторов положения и какова их роль в дифференциальной геометрии?

Вопрос от Шутца

Вывод тензора Вейля

Симплектическая структура и изоморфизмы

Покажите, что параллельная транспортировка не меняет угол между ними. Тензоры [закрыто]

Использование тензоров на лагранжиане и гамильтониане

Любое ли ограничение, включающее только две координаты, интегрируемо?

Тензор Киллинга и тождество тензора Римана

Доказательство существования 4-потенциала из уравнения поля Гаусса-Фарадея