Гравитационное притяжение между квантовыми частицами [закрыто]

Для этого ответа мы предположим ньютоновскую гравитацию и рассчитаем воздействие на частицу 1 на основе гравитации частицы 2 (которую мы будем считать фиксированной точкой массы).

Предположим, у нас есть одномерная «частица в ящике» массы$m$ограничивается интервалом$[0,L]$. Энергетические собственные состояния помечены$n=1,2,...$и иметь энергии

$$E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2}$$

и волновые функции

$$\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)$$

Предположим теперь, что мы вносим в эту систему малое возмущение, а именно гравитационное притяжение от другой частицы массы$M$на позиции$x_G$, который мы ограничим так, чтобы он лежал вне коробки, чтобы возмущение было малым и чтобы избежать сингулярностей. Потенциал, вносимый этим притяжением в положение$x$является

$$V(x)=-\frac{GmM}{|x-x_G|}$$

Мы рассматриваем это как возмущение исходной волновой функции и используем теорию возмущений первого порядка. Изменение энергии в$n=2$состоянии, в первом порядке в$GmM$, является

$$\Delta E_2 = \langle\psi_2|V|\psi_2\rangle=\int_0^L -\frac{2GmM}{L}\frac{\sin^2\left(\frac{2\pi x}{L}\right)}{|x-x_G|}dx$$

Этот интеграл не имеет элементарного выражения для своего решения, но его можно построить. Например, вот изменение энергии в зависимости от расстояния, если предположить, что притягивающая частица находится слева от ящика:

В приведенном выше$y$-ось в единицах$E_0=\frac{2GmM}{L}$. Как видите, чем ближе притягивающая частица к ящику, тем больше снижается энергия частицы в ящике.

Поправку первого порядка к волновой функции также можно рассчитать по известной формуле

$$\begin{align*} \Delta\psi_2(x) &= \sum_{k\neq 2}\frac{\langle\psi_k|V|\psi_2\rangle}{E_2-E_k}|\psi_k\rangle \\ &= \sum_{k\neq 2}\frac{\int_0^L -\frac{2GmM}{L}\frac{\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\sin\left(\frac{k\pi x}{L}\right)}{|x-x_G|}}{\frac{(2^2-k^2)\pi^2\hbar^2}{2mL^2}}\sin\left(\frac{k\pi x}{L}\right) \end{align*}$$

Еще раз, нет решения в закрытой форме, но вот приближение вероятности этого состояния$|\psi_2+\Delta\psi_2|^2$для частицы с$x_G=-1$,$L=1$, и$GMm=.01$, с$y$-ось в условных единицах (где поправки вынесены на$k=6$):

Как видите, она в основном идентична исходной волновой функции, что является признаком того, что мы все сделали правильно, потому что теория возмущений первого порядка справедлива только для очень малых возмущений волновой функции. Чтобы поближе рассмотреть, что изменилось, возьмем отношение возмущенной плотности вероятности к исходной плотности вероятности$\frac{|\psi_2+\Delta\psi_2|^2}{|\psi_2|^2}$:

Как видите, теперь вероятность того, что частица окажется с левой стороны прямоугольника, несколько выше, чем раньше. (Любопытно, что также кажется более вероятным, что он будет на краях коробки в любом случае, но, глядя на асимметрию в этом соотношении, он явно предпочитает быть на левой стороне). Учитывая, что наша притягивающая частица находится с левой стороны коробки, это имеет смысл. Итак, в целом кажется, что наше распределение вероятностей немного сместилось влево. Вычисление среднего положения частицы в указанных выше единицах:

$$\langle x\rangle = \frac{ \langle \psi_2+\Delta\psi_2|x|\psi_2+\Delta\psi_2\rangle}{\langle \psi_2+\Delta\psi_2|\psi_2+\Delta\psi_2\rangle} = \frac{\int_0^L (\psi_2+\Delta\psi_2)^2 x dx}{\int_0^L (\psi_2+\Delta\psi_2)^2 dx}\approx 0.499996$$

что немного левее среднего положения невозмущенной частицы,$0.5$.