Понимание расчетов по теории вырожденных возмущений

Если я начну с гамильтониана:

$$\begin{align} \hat{H} = -\frac{\hbar^{2}}{2mR^{2}} \partial_{\phi}^{2} + g\delta(\phi) \end{align}$$

И посмотрите на невозмутимую часть$(g=0)$, я считаю, что общее решение

$$\begin{align} |\psi\rangle = Ae^{\pm ik \phi} \end{align}$$

Нормирование и решение собственных состояний и собственных энергий для его конфигурации (т.е. частицы на кольце):

$$\begin{align} |\psi_{n}\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2\pi R}}e^{\pm in \phi} \\ \mathcal{E}_{n} &=\frac{ n^{2} \hbar^{2}}{2mR^{2}} \end{align}$$

И у нас есть$2n+1$количество вырождений, проиндексированных$n$где$n \in \mathbb{Z}$

Когда я знаю, посмотри на возмущенное состояние$(g \delta(\phi))$Я строю матрицу:

$$\begin{align} \begin{pmatrix} \langle k|g\delta(\phi) |k\rangle & \langle k|g\delta(\phi)|k'\rangle \\ \langle k'|g\delta(\phi)|k'\rangle & \langle k'|g\delta(\phi)|k'\rangle \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{g}{2\pi} & \frac{g}{2\pi}\\ \frac{g}{2\pi } & \frac{g}{2\pi } \end{pmatrix} \end{align}$$ где $k,k'$являются индексами матрицы.

Взятие определителя дает следующие собственные векторы с их собственными значениями:

$$\begin{align} |\eta_{1} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( |k\rangle + |k'\rangle \right) \qquad \mathrm{for}\ \mathcal{E} = \frac{g}{\pi} \\ |\eta_{2} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( |k\rangle - |k'\rangle \right) \qquad \mathrm{for}\ \mathcal{E} = 0 \end{align}$$

---

Итак, теперь мой вопрос на самом деле заключается в том, что мне делать с этой информацией, чтобы найти возмущенные энергии (сохраняя второй порядок) и собственные состояния? Или, что важно, какая необходимость, так сказать, иметь эти собственные векторы?

Действительно ли то, что я сделал, было решить для возмущенных «частей» состояний$\eta_{1,2}$в основе$k$и$k'$и затем я могу использовать это как кет при решении уравнений возмущенного состояния, т.е.:

$$\begin{align} E_{\eta_{1}}^{(1)} =\langle \eta_{1}| g \delta(\phi)|k \rangle \end{align}$$

??