Возмущение второго порядка вырожденной системы без поправки первого порядка

Рассмотрим следующий гамильтониан в произвольных единицах:

ЧАС "=" [ 0 0 г 0 0 г г г 1 ]

где г << 1 . Сравнительно просто найти спектр этого гамильтониана аналитически. Просто решите характеристическое уравнение и найдите три собственных значения этой матрицы:

ϵ 1 "=" 1 2 ( 1 − 1 + 8 г 2 ) ≈ − 4 г 2 ϵ 2 "=" 0 ϵ 3 "=" 1 2 ( 1 + 1 + 8 г 2 ) ≈ 1 + 4 г 2

Меня просят вычислить спектр этого гамильтониана до второго порядка пертубативными методами. Итак, мы разделяем гамильтониан на:

ЧАС "=" ЧАС 0 + г ЧАС ~

Но, конечно, мы сразу понимаем, что ЧАС 0 является вырожденным.

Как мы применим теорию возмущений к этому гамильтониану? Ссылки приветствуются, но не будут считаться ответами, так как в данный момент я не могу получить к ним доступ.

Заметьте, я дома, и единственная ссылка, которая у меня есть на эту тему, — это « Квантовая механика» Аластера Рэя, 5-е издание . Здесь есть раздел теории возмущений для вырожденных уровней, но здесь этот подход не работает . Это потому, что он основан на нахождении поправок первого порядка к уровням энергии, которые, как мы знаем, не существуют благодаря нашему аналитическому решению.

Я также частично обманул, признав, что вектор:

в 2 "=" 1 2 [     1   − 1       0   ]

является собственным вектором обоих ЧАС и ЧАС 0 для собственного значения 0 , но мне это мало помогло.

Наконец, я знаю, что есть вопрос о том же гамильтониане, но на него нет ответа.

Ответы (1)

Действительно, первый порядок твердо устанавливает обращение в нуль энергетических поправок, но не может полностью указать поправки на волновую функцию, и вы должны продолжать идти ко 2-му и 3-му порядкам, чтобы указать ваши неизвестные в недоопределенных системах. Курант и Гильберт (цитируемые здесь ) описывают процедуру, но, возможно, вы не хотите туда идти... Во всяком случае, два других собственных вектора равны

в 1 ∝ 1 2 [     1   1       с   ] с "=" ( 1 − 1 + 8 г 2 ) / 2 г ≈ − 2 г , в 3 ∝ [     г   г       б   ] б "=" ( 1 + 1 + 8 г 2 ) / 2 ≈ 1 + 2 г 2 , ⟹ в 3 ∝ [     0   0       1   ] + 2 г в 1 + О ( г 2 ) , . . .
Все 3 собственных вектора взаимно ортогональны.

Первый заказ определяет в 3 поправочка, а про 1-2 смешения, в таком порядке, ничего не известно, а значит надо переходить на следующий уровень, чтобы получить те и т.д.

Вместо этого вашего ограниченного обмана было как раз достаточно, и все, что вам нужно, это спроецировать в 2 подпространство и в итоге получим тривиальную невырожденную систему 2×2. Рассмотрим преобразование «Фолди-Вухуйзена»,

U "=" [ 1 / 2 1 / 2 0 − 1 / 2 1 / 2 0 0 0 1 ]
уступающий
U † ЧАС   U "=" [ 0 0 0 0 0 2 г 0 2 г 1 ] ,
система, эквивалентная исходной, но теперь с первым подпространством, вашим мошенническим собственным вектором, спроецированным наружу и не вырожденным вдобавок, поэтому сдвиг энергии второго порядка равен Е ( 2 ) "=" ± 2 г 2 по стандартной скучной формуле. Профессионалы называют это 3-масштабной задачей: 0, г 2 , и 1, как вы видели.

Как добраться из в 2 к преобразованию Фолди-Вухуйсена?
Смотрим на вырожденный блок (1-2 компонента) и диагонализируем относительно полученного с помощью читов в 2 , и его ортогональное состояние.
Ой! Я понял! Спасибо. Насколько можно надеяться найти один из собственных векторов таким образом?
Для такой маленькой матрицы, как эта, найти нулевой вектор легко, так что...
Возмущение второго порядка вырожденной системы без поправки первого порядка
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v