Возмущения в теории линейного отклика

Я работал над приложениями теории линейного отклика к системам с конденсированными средами, и я достаточно хорошо изучил литературу по этому вопросу. Тем не менее, есть личность, которая, кажется, цитируется везде, которую я не могу воспроизвести, и я хотел бы понять, что именно мне не хватает. Заявление следующее:

Предположим, что у нас есть система, описываемая независимым от времени гамильтонианом ЧАС 0 . Теперь добавим слабое возмущение и будем считать, что оно имеет вид ф ( т ) О 1 , где О 1 — оператор, описывающий возмущенную величину. Предположим также, что возмущение включается за конечное время т с , т.е. ф ( т < т с ) "=" 0 . Параметр ЧАС ( т ) "=" ЧАС 0 + ф ( т ) О 1 , мы можем записать временную эволюцию состояния | ψ ⟩ которое является собственным состоянием ЧАС 0 :

| ψ ( т ) ⟩ "=" Т ( е − я ∫ − ∞ т д т ′ ЧАС ( т ′ ) ) | ψ ⟩

где Т является оператором временного порядка. На первый заказ в ф ( т ) , это можно записать как

| ψ ( т ) ⟩ ≈ е − я ∫ − ∞ т д т ′ ЧАС 0 | ψ ( т ) ⟩ − я ∫ − ∞ т д т ′ ф ( т ′ ) е − я ЧАС 0 ( т − т ′ ) О 1 е − я ЧАС 0 ( т ′ − ( − ∞ ) ) | ψ ⟩

Это утверждение, которое мне трудно проверить. Поскольку мы ничего не можем сказать о том, как О 1 коммутирует (или не коммутирует) с ЧАС , я застрял на некоторое время. Большинство моих попыток не удается воспроизвести эту идентичность. У кого-нибудь есть предложения о том, как действовать?

Также для тех, кому интересно, какие источники используют этот факт, вы можете посмотреть книгу Сяо-Ган Вэня (Квантовая теория поля систем многих тел), глава 2.

Ответы (1)

Начнем с уравнения эволюции времени:

| ψ ( т ) ⟩ "=" Т ( е − я ∫ − ∞ т д т ′ ЧАС ( т ′ ) ) | ψ ⟩

Теперь нам нужно вычислить экспоненту с помощью следующего гамильтониана:

ЧАС ( т ) "=" ЧАС 0 + ф ( т ) О 1
при этом обращая внимание на время заказа.

Для этого для удобства рассмотрим только (упорядоченную по времени) экспоненциальную часть и представим интеграл в виде суммы Римана (с неявно предполагаемым пределом):

Т ( е − я ∑ Дж Δ т Дж ( ЧАС 0 + ф ( т Дж ) О 1 ) )
"=" ∏ Дж е − я Δ т Дж ( ЧАС 0 + ф ( т Дж ) О 1 )
где в произведении неявно предполагается временная упорядоченность: мы действуем нижним Дж факторы сначала (т.е. справа), затем перейти к более высоким значениям Дж . Теперь, как возмущение ф ( т Дж ) О 1 слаб во все времена, мы можем повторно выразить каждый экспоненциальный множитель следующим образом (где мы пренебрегаем коммутатором между − я Δ т Дж ЧАС 0 и − я Δ т Дж ф ( т Дж ) О 1 , что является вторым порядком в Δ т Дж ):
∏ Дж е − я Δ т Дж ЧАС 0 ( 1 − я Δ т Дж ф ( т Дж ) О 1 )
"=" е − я ∑ Дж Δ т Дж ЧАС 0 − я ∑ Дж Δ т Дж ( ∏ к ≥ Дж е − я Δ т к ЧАС 0 ) ф ( т Дж ) О 1 ( ∏ к < Дж е − я Δ т к ЧАС 0 )
"=" е − я ∑ Дж Δ т Дж ЧАС 0 − я ∑ Дж Δ т Дж ( е − я ∑ к ≥ Дж Δ т к ЧАС 0 ) ф ( т Дж ) О 1 ( е − я ∑ к < Дж Δ т к ЧАС 0 )
где во второй строке мы пренебрегаем членами, идущими как квадрат ф ( т Дж ) или выше. Теперь мы можем преобразовать это обратно в интегралы и подставить в уравнение временной эволюции:
| ψ ( т ) ⟩ "=" ( е − я ∫ − ∞ т д т ′ ЧАС 0 − я ∫ − ∞ т д т ′ ф ( т ′ ) е − я ∫ т ′ т д т ″ ЧАС 0 О 1 е − я ∫ − ∞ т ′ д т ″ ЧАС 0 ) | ψ ⟩
⟹ | ψ ( т ) ⟩ "=" ( е − я ∫ − ∞ т д т ′ ЧАС 0 − я ∫ − ∞ т д т ′ ф ( т ′ ) е − я ЧАС 0 ( т − т ′ ) О 1 е − я ЧАС 0 ( т ′ − ( − ∞ ) ) ) | ψ ⟩
Это необходимое выражение. На последнем шаге мы заменили интегралы ЧАС 0 во втором члене с простыми произведениями ЧАС 0 с временным интервалом. Это возможно, потому что | ψ ⟩ является собственным состоянием ЧАС 0 , и эффект от этой замены только первого порядка ф ( т ) О 1 , что делает его поправкой второго порядка к | ψ ( т ) ⟩ . Заметьте, что именно благодаря временному порядку нам не нужно было беспокоиться о коммутаторе О 1 с ЧАС на более поздних этапах.

Большое спасибо, эти заметки очень полезны. Меня все еще немного смущает первая строка после предложения «мы можем повторно выразить каждый экспоненциальный множитель следующим образом:». Меня смущает то, что вы, кажется, факторизуете экспоненты, то есть говорите, что e ^ {A + B} = e ^ {A} e ^ {B}, но в целом это неверно. Не должен ли быть также член, пропорциональный появляющемуся коммутатору, поскольку он все еще является только первым порядком по f? Есть ли какая-то причина, по которой порядок времени говорит нам, что нам не нужно об этом беспокоиться? Еще раз спасибо!
Здесь мы рассматриваем e^{(dt)(A+B)} = e^{(dt)A + (dt)B}. Тогда задействованный коммутатор имеет вид [(dt)A, (dt)B] = (dt)^2[A, B], что является вторым порядком по (dt), и поэтому им можно пренебречь по сравнению с членами, линейными по (dt ), поскольку мы берем предел dt -> 0. Упорядочивание по времени приводит к полученному конечному выражению и позволяет избежать необходимости рассматривать коммутатор также в линейных терминах.
Я обновил ответ, чтобы упомянуть об этом.
Возмущения в теории линейного отклика
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v