Ограничения на действие Эйнштейна-Гильберта

Есть несколько ограничений, это зависит от того, что вы хотите сделать.

Например, существует критерий устойчивости Долгова-Кавасаки, который гласит:

$$f_{RR}(R)>0$$

где$f_R = \cfrac{df(R)}{dR}$, для$f(R)$модель должна быть тахионно стабильной. См., например, документы:

(2+1)-мерные решения в F(R) гравитации

Энергетические условия и устойчивость в f(R)-теориях гравитации с неминимальной связью с материей

f(R) гравитация: успехи и проблемы

Неустойчивость вещества в модифицированной гравитации

Существуют также космологические ограничения:

Схема роста жизнеспособных космологий f(R)

и подробно обсуждаются в разделе B. Действие в этой последней статье содержит чистый член Эйнштейна-Гильберта, поэтому вам может потребоваться изменить ограничения, которые дают авторы.

Более того, если иметь дело с черными дырами, поскольку энтропия в$f(R)$гравитация определяется выражением (см. Энтропия черной дыры в скалярно-тензорной и f (R)-гравитации: обзор и термодинамика Горизонта в теории f (R) ):

$$S(r_h) = \frac{A f_R(r_h)}{4G}$$

можно навязать это$f_R(r_h) >0$для разумной энтропии, которая приведет к соотношению для параметров вашей теории.

Для сингулярной части в статье Нетривиальные решения для черных дыр в теории гравитации f (R)

, авторы считают произвольным$f(R)$теории и обнаружил, что главный порядок скаляра Кречмана равен$O(r^{-2})$который мягче, чем скаляр Шварцшильда Кречмана$O(r^{-6})$.

Да, вы можете изменить действие EH, написав

$$\mathcal{S}_{EH} = \displaystyle \int \mathrm{d}^4 x\sqrt{-g} f(R)$$ где$f(R)$является произвольной функцией скаляра Риччи$R$. Привлекательной особенностью этого действия является то, что оно сочетает в себе математическую простоту с достаточной степенью общности. Например, если мы возьмем разложение ряда$f$

$$f(R) = \ldots + \frac{a_2}{R^2}+\frac{a_1}{R} − 2\Lambda + R + b_2 R^2 + b_3 R^3 + \ldots$$

Где$a_i$и$b_j$коэффициенты имеют соответствующие размерности. Вы спрашиваете поместить туда какую-то функцию скаляра Риччи, ну я бы тут добавил осторожность, например гравитационный формализм Старобинского имеет следующий вид:

$$f(R)=R+\frac {R^{2}}{6M^{2}}$$ где$M$имеет размерность массы. Это действие соответствует потенциалу

$$V(\phi) = \Lambda^4 \left(1 - e^{-\sqrt{2/3} \phi/M_p} \right)^2$$

Если есть веская причина для записи гиперболического тангенса, сделайте это, но наблюдательный тест, похоже, соответствует форме разложения Тейлора, которую я написал выше.