Что представляют собой четыре компонента спиноров Дирака в Стандартной модели?

Question

Что представляют собой четыре компонента спиноров Дирака в Стандартной модели?

jcelios

Я пытался разобраться в формализмах, используемых в Стандартной модели. Из того, что я собрал, спиноры Дирака представляют собой 4-компонентные объекты, предназначенные для работы с преобразованиями Лоренца, очень похожими на 4-векторы в специальной теории относительности. Однако они также включают дополнительную информацию: вращение и «ручность». Из-за природы спина спиноры также трансформируются иначе, чем векторы.

Это оставляет у меня впечатление, что 4 компонента можно классифицировать как: левостороннее и вращение вверх, левостороннее и вращение вниз, правостороннее и вращение вверх, правостороннее и вращение вниз.

Мой вопрос в том, является ли это впечатление правильной общей идеей или нет?

Тримок

Ваш би-спинорный базис Дирака называется базисом Вейля или киральным базисом. Но для уравнения Дирака существуют разные базисы, такие как базис Дирака. Каждый базис соответствует различному представлению гамма-матриц .

Ответы (4)

Что представляют собой четыре компонента спиноров Дирака в Стандартной модели?

Ваш би-спинорный базис Дирака называется базисом Вейля или киральным базисом. Но для уравнения Дирака существуют разные базисы, такие как базис Дирака. Каждый базис соответствует различному представлению гамма-матриц .

Безумный Макс · Answer 1

4 компонента можно классифицировать как: левостороннее движение и вращение вверх, левостороннее движение и вращение вниз, правостороннее движение и вращение вверх, правостороннее движение и вращение вниз.

Ваша классификация зависит от представления в том контексте, в котором вы ее изложили.

Однако существует независимый от представления способ сделать то же самое с двумя (ортогональными) проекциями:

\begin{aligned} Хиральная проекция & : \frac{1}{2} (1 \pm γ^{5}) знак равно \frac{1}{2} (1 \pm я γ^{0} γ^{1} γ^{2} γ^{3}), \\ Спиновая проекция & : \frac{1}{2} (1 \pm 2 С^{3}) знак равно \frac{1}{2} (1 \pm я γ^{1} γ^{2}) . \end{aligned}

$\begin{aligned} \text{Chiral Projection}&:\ \frac{1}{2}(1\pm \gamma^5) = \frac{1}{2}(1\pm i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3), \\ \text{Spin Projection}&:\ \frac{1}{2}(1\pm 2S^3) = \frac{1}{2}(1\pm i\gamma^1\gamma^2). \end{aligned}$

Конкретное ваше представление состоит в том, чтобы выбрать 4 собственных вектора вышеуказанных проекций в качестве базы.

Ахметели · Answer 2

Ахметели

Это зависит от представления гамма-матриц. Это могут быть, например, четыре комбинации электрона/позитрона и спина вверх/вниз.

Майкл

В любом другом представлении компоненты являются просто линейными комбинациями этих компонентов. Таким образом, информация, содержащаяся в них, одинакова, просто она упакована по-разному.

Ахметели

@Michael Brown: Я согласен, но это означает, что 4 компонента не могут быть «классифицированы как: левша и раскрутка» и т. д., как предлагает OP, независимо от представления.

innisfree

4 степени свободы сложны, можно добавить, что дополнительные степени свободы устраняются EoM и т. д.

Майкл

Возможно, стоит уточнить, что вы можете классифицировать 4 степени свободы инвариантным образом, используя операторы проектирования

(γ^{μ} p_{μ} \pm m) / 2 m

$(\gamma^\mu p_\mu \pm m)/2m$ а также

(1 \pm γ^{5}) / 2

$(1\pm\gamma^5)/2$ , которые принимают красивые диагональные формы в определенном базисе. Адаптированная основа хороша, если вы заботитесь об этих проекторах, хотя вы можете использовать любую основу, которую хотите. Но из этой конструкции вы можете видеть, что физическое содержание поля не зависит от представления.

Ахметели

@Майкл Браун: Опять же, я согласен, но ОП, похоже, не говорит о «физическом содержании поля», а скорее (она) говорит о физическом содержании «четырех компонентов», и это действительно зависит от представления .

Майкл

@ЭдвардХьюз Что? Электроны и позитроны соответствуют положительной частоте (

u e^{- i p x}

$u e^{-ipx}$ ) и отрицательной частоты (

v e^{+ i p x}

$v e^{+ipx}$ ) решения уравнения Дирака. Оба содержатся в одном и том же спинорном поле Дирака. См., например, уравнение Пескина и Шредера 3.99. Проекционные операторы, о которых я упоминал, проецируются на левую и правую части

u

$u$ а также

v

$v$ . Если вы классифицируете по левой / правой частице / античастице, это эквивалентно, но просто перетасовке левого / правого вращения вверх / вниз.

Эдвард Хьюз

Извинения - мои первоначальные комментарии были неправильными. Это было поздно ночью, когда я написал их! Однако я не понимаю вашего утверждения, что частицу/античастицу можно просто «перетасовать» в спин вверх/вниз. Наверняка вы имеете в виду, что левая/правая частица/античастица эквивалентны частице/античастице со спином вверх/вниз в зависимости от того, что проявляется в представлении?

Тимей

@EdwardHughes Вам нужно отметить кого-то (например, я отметил вас), чтобы они были уведомлены о вашем комментарии. Я думаю, что автор вопроса или ответа, который вы комментируете, может быть автоматически уведомлен, но другие нет.

пользователь8817 · Answer 3

В случае представлений $\left( \frac{m}{2}, \frac{n}{2}\right)$ группы Лоренца надо взять прямую сумму $\left( \frac{m}{2}, \frac{n}{2}\right) + \left( \frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right)$ , если мы хотим сделать наши представления неприводимыми. Это вызвано действием в дискретном пространстве (и времени) обратных операторов в пространстве группы Лоренца: они переводят $\left( \frac{m}{2}, \frac{n}{2}\right)$ представительство $\left( \frac{m}{2}, \frac{n}{2}\right)$ , так $\left( \frac{m}{2}, \frac{n}{2}\right)$ само по себе не является представлением полной группы Лоренца. Кроме того, если мы хотим сделать наше поле реальным (не сложным), мы также должны взять прямую сумму повторений (по аналогии). Но тогда мы должны действовать на поле прямой суммы-представления оператором проектирования, который оставляет только $n + m + 1$ независимыми компонентами поля, какими они должны быть для спина $s = \frac{n + m}{2}$ поле.

Итак, давайте поговорим о частном случае. Биспинор Дирака относится к прямой сумме $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ а также $\left( 0, \frac{1}{2}\right)$ представления, которые соответствуют левосторонним и правосторонним представлениям (называя хиральность). Каждое из этих представлений относится к спину $\frac{1}{2}$ -частица, и ее проекция может быть $\pm \frac{1}{2}$ . Но уравнение Дирака, являющееся оператором проектирования на двумерное пространство независимых компонент (как и должно быть для спина $\frac{1}{2}$ быть), смешивает эти компоненты в целом. однако в случае $m = 0$ компоненты разной хиральности не смешиваются между собой, и уравнение Дирака приводит к двум независимым уравнениям, которые называются уравнениями Вейля. Это может быть даже в базисе Дирака.

Также антикоммутационные соотношения между матрицами Дирака и формой уравнения Дирака не меняются при унитарных преобразованиях: $\gamma ' = U\gamma U^{-1}, \Psi ' = U\Psi$ , поэтому, взяв $U = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 && \sigma_{y} \\ \sigma_{y} && -1\end{pmatrix}$ вы делаете уравнения спинора независимыми. Так что в этом случае вы также можете использовать свою классификацию.

Гаррет Собчик · Answer 4

Двухкомпонентный спинор можно геометрически интерпретировать как представление точки на сфере Римана, определяемой соотношением двух ее комплексных компонентов и его стереографической проекцией на плоскость xy. Точно так же четырехкомпонентный спинор можно интерпретировать с помощью более сложного соотношения, определяемого его четырьмя комплексными компонентами, как точку на сфере Римана, за которой следует преобразование Лоренца, и его стереографическая проекция на комплексную проективную плоскость. $P^2_C$ . Мои недавние работы «Векторный анализ спиноров» и «Пространственно-временная алгебра спиноров Дирака», посвященные этим сложным вопросам, можно найти на моем веб-сайте: http://www.garretstar.com/

Что представляют собой четыре компонента спиноров Дирака в Стандартной модели?

jcelios

Тримок

Ответы (4)

Безумный Макс

Ахметели

Майкл

Ахметели

innisfree

Майкл

Ахметели

Майкл

Эдвард Хьюз

Тимей

пользователь8817

Гаррет Собчик

Можно ли доказать полную теорему о спиновой статистике из случаев спина 0, 1/2 и 1?

Количество компонентов спинора

Группа симметрии и представление частицы со спином NNN

Античастицы против сопряженных частиц

Где квантовые поля кодируют информацию о спине?

Обозначение твистора в пространстве-времени (Часть 1)

Должны ли безмассовые частицы со спином 1/2 быть спинорами Вейля?

Как понять спиноры в пространстве-времени 1+1?

Почему электромагнитная и слабая связи не совпадают в электрослабой шкале?

Двухкомпонентный спинорный формализм