iϵiϵi\epsilon в нерелятивистской теории рассеяния

(Этот ответ в значительной степени просто расширяет комментарий Ургье.)

Не зависящее от времени уравнение Шредингера, т. е. рассматривающее постоянную энергию, по существу является преобразованием Фурье зависящего от времени уравнения Шредингера. $i\epsilon$рецепт исходит из выполнения преобразований Фурье, которые не сходятся для задач рассеяния. Поэтому, чтобы получить что-то, что действительно сходится, вам нужно немного изменить ваше преобразование Фурье.

После этого довольно расплывчатого введения давайте рассмотрим его более подробно. Большая часть нижеследующего тесно связана с библией Ньютона по теории рассеяния , где начало 3-й главы, вероятно, является наиболее четким наброском теории рассеяния.$i\epsilon$проблемы, которые вы можете найти в литературе.

Рассмотрим зависящее от времени уравнение Шрёдингера ($\hbar=1$):

$$i \dot{\psi}(t) = H \psi(t).$$

Тогда можно определить функцию Грина:

$$(i \frac{\partial}{\partial t} - H ) G(t) = \mathbb{I}\delta(t) .$$

Однако это$G(t)$далеко не уникален, есть все виды начальных условий, которые вы можете рассмотреть. Обычный выбор, описывающий причинно-следственное распространение, таков:

$$G^+(t) = 0 \quad \textrm{for } t<0.$$

Пока это только определение решения уравнения для функции Грина, т.е. есть и другие решения. Однако это решение особенно полезно для решения проблем с начальными значениями , поскольку, если вы знаете начальное состояние в какой-то момент$t_0$можно записать решение уравнения Шрёдингера как

$$\psi(t) = iG^+(t-t_0)\psi(t_0).$$

Отсюда можно развивать теорию рассеяния, определяя внутренние состояния в далеком прошлом и внешние состояния в далеком будущем и решая волновые уравнения.

Так что (почти) все хорошо на картинке, зависящей от времени. Однако вам всегда придется указывать wavepackets , поэтому часто предпочтительнее изображение, не зависящее от времени/энергии.

Чтобы получить картину энергии, мы преобразуем Фурье... почти все. Преобразование Фурье зависящего от времени уравнения Шредингера - это не зависящее от времени уравнение Шредингера

$$E |\psi\rangle = H|\psi\rangle.$$

Теперь давайте посмотрим на преобразование Фурье функции Грина выше. Вот где$i\epsilon$приходит в:

$$G^+(E) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{iEt} G^+(t).$$

Это явно не сходится. Как$t \rightarrow -\infty$подынтегральная функция равна нулю, так что с этой частью все в порядке. Но$t \rightarrow +\infty$подынтегральная функция может колебаться. Поэтому мы должны изменить наше определение$G^+(E)$к

$$G^+(E) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{i(Et+i\epsilon t)} G^+(t).$$

Обратите внимание, что нет абсолютно никакого выбора знака перед$i\epsilon$здесь. Это потому, что выше мы решили, что хотим решить проблему начального значения . Если вместо этого вы хотите решить проблему конечного значения, вы выберете$G_0(t)$быть равным нулю в будущем, и вам понадобится противоположный знак в преобразовании Фурье.

Где связь с уравнением Липпмана-Швингера? Немного манипулируя уравнениями, мы видим, что

$$G^+(E) = (E-H+i\epsilon).$$

Таким образом, в уравнениях Липпмана-Швингера появляется свободная функция Грина (т.е. гамильтониан$H_0$без взаимодействия). Так где же здесь наш выбор? Штат$|\psi_0\rangle$не является единственным, выберем его либо как преобразование Фурье свободной волны, бегущей вперед, либо бегущей назад. Таким образом, у нас есть связь с выбором, что мы решаем проблему с начальным значением и$i\epsilon$не является произвольным в конце концов.