Дельта-функция от полюсов функции Грина

В квантово-механической теории рассеяния мы часто используем функции Грина, содержащие полюсы. Например, в квантовой механике Шредингера свободная функция Грина определяется выражением

г 0 ( п → ) "=" 1 Е − п 2 2 м + я ϵ

в импульсном пространстве, где бесконечно малая постоянная ϵ > 0 была введена забота о полюсе на Е "=" п 2 2 м . Мнимая часть г 0 затем

Я г 0 "=" − ϵ ( Е − п 2 2 м ) 2 + ϵ 2

и сдача ϵ стремятся к нулю, получаем (используя формулу Сохоцкого–Племеля)

лим ϵ → 0 Я г 0 "=" − π дельта ( Е − п 2 2 м ) .

Тогда полная функция Грина задается уравнением Дайсона

г "=" г 0 + г 0 В г 0 + г 0 В г 0 В г 0 + …

с потенциалом рассеяния В . Глядя на второй член в уравнении Дайсона, мы видим, что свободная функция Грина появляется дважды, что приводит к выражению, пропорциональному 1 ( Е − п 2 / ( 2 м ) + я ϵ ) 2 . Интересно, какова мнимая часть этого выражения. Физически должна быть какая-то дельта-функция, потому что физическая частица удовлетворяет соотношению Е "=" п 2 2 м даже после упругого рассеяния, но я не вижу, как дельта входит в игру. Итак, как я могу получить дельта-функцию из дроби

1 ( Е − п 2 2 м + я ϵ ) 2 ?

Предположение, что импульс не меняется при взаимодействии, неоправданно.

Ответы (1)

Зеленые функции г и г 0 , а также потенциал рассеяния В являются операторами. Следовательно, если мы решим работать в импульсном пространстве, строка операторов, например г 0 В г 0 , должны быть записаны в виде свертки, и все фиктивные переменные должны быть интегрированы. Делая это, вы никогда не получите квадрат свободной функции Грина, как вы утверждаете. Вы не должны интерпретировать уравнение Дайсона как простое умножение функций.

В позиционном пространстве г 0 В г 0 соответствует свертке; в импульсном пространстве, к умножению. Это основное свойство преобразования Фурье: оно отображает свертки в точечные произведения и наоборот.
Это зависит от оператора. Потенциалы обычно мультипликативны в позиционном пространстве и сверточные в импульсном пространстве.
Дельта-функция от полюсов функции Грина
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v