Уравнение Липпмана-Швингера с исходящими решениями

Один из способов взглянуть на это — просто математический трюк, кодирующий граничные условия уравнения Шредингера. Альтернативный и лишь немного более интуитивный взгляд состоит в следующем. Чтобы получить только выходящие решения, необходимо предположить, что потенциал рассеяния включается медленно адиабатически. Формально этого можно добиться, рассматривая потенциал рассеяния как функцию времени вида$V(r,t) = V(r)e^{\epsilon t}$, так что$V\to 0$для большого минуса$t$. Работая с алгеброй, вы обнаружите, что точно такой же эффект достигается добавлением небольшого мнимого члена$i\epsilon$вместо этого к энергиям. Это обсуждается в КМ Ландау и Лифшица , раздел 43, а также упоминается где-то в обширных разделах по теории рассеяния в том же тексте. Как вы, наверное, уже знаете, эта процедура сдвигает полюс функции Грина в правильном направлении, так что вы улавливаете уходящую сферическую волну после контурного интегрирования в плоскости комплексного импульса.

Пока взаимодействие включается очень медленно, адиабатическая теорема говорит вам, что система останется в одном и том же собственном состоянии, даже если форма этого собственного состояния изменится по мере изменения гамильтониана. Нетрудно поверить, что адиабатическая деформация состояния когерентной плоской волны при импульсе$\mathbf{k}$снова волна с импульсом$\mathbf{k}$, но теперь с небольшой составляющей исходящей сферической волны. Если вы вместо этого резко включите рассеивающий потенциал, внезапный «толчок», который это дает системе, возбудит моды со всеми возможными импульсами. Интерференция между этими различными модами может привести к появлению как входящих, так и выходящих компонентов сферической волны в целом.

Строго говоря, адиабатика требует, чтобы взаимодействие включалось медленнее, чем любая обратная разность частот. Для разбрасывания в большом объеме$L^3$, это практически невозможно, так как разность частот пропорциональна$1/L^2$. Однако до тех пор, пока взаимодействие не включается бесконечно быстро (что, конечно, также невозможно), можно ожидать, что начальные переходные процессы в конечном итоге усреднятся до нуля, оставив только уходящую сферическую волну. И, конечно же, это действительно то, что происходит в эксперименте.

Во-первых, как я понимаю уравнение Липпмана-Швингера, на самом деле есть два разных случая, обозначаемых$\pm$в стандартной форме уравнения:

Таким образом, мы говорим не только об уходящем решении (т.$+$уравнения), но и поступающее решение ($-$). Кроме того,$i\epsilon$член существует в уравнении Липпмана-Швингера до того, как вы введете функцию Грина (вы можете ввести функцию Грина при решении уравнения).

Как описано на странице Википедии ( здесь ), сложный термин, на который вы ссылаетесь, просто вводится, чтобы избежать взрыва выражения для$(E-H_0)\rightarrow 0$. Затем вы можете интегрировать контур вокруг полюса обычным способом. Возможно, я ошибаюсь (и я был бы счастлив понять это глубже), но я не думаю о$i\epsilon$термин как физически интересный; вместо этого я вижу в этом скорее математический трюк, позволяющий нам решить.