Как понять перестановки частиц в квантовой механике?

Я изучаю идентичные частицы в квантовой механике, и мне трудно понять идею перестановок частиц с математической точки зрения.

С одной интуитивной точки зрения это довольно просто: у нас есть две одинаковые частицы, и мы произвольно обозначаем их как$1,2$. Перестановка частиц в них означает перестановку меток, так что частица, однажды помеченная$1$сейчас$2$и частица, однажды помеченная$2$сейчас$1$.

Теперь математически все сложнее. Если описание каждой частицы в отдельности дается пространством состояний$\mathcal{E}$, сначала кажется , что для двухчастичной системы пространство состояний должно быть$\mathcal{E}\otimes \mathcal{E}$.

Я знаю, что позже мы увидим, что это подпространство этого, но просто чтобы прояснить мою мысль, важно то, что кажется , что первое$\mathcal{E}$что появляется для частицы$1$и второй$\mathcal{E}$что появляется для частицы$2$.

Сейчас я читаю книгу Коэна-Таннуджи, и по этому поводу автор заявляет следующее:

Рассмотрим систему, состоящую из двух частиц с одинаковым спином$s$. Здесь нет необходимости, чтобы эти две частицы были идентичными: достаточно, чтобы их индивидуальные пространства состояний были изоморфны. Поэтому, чтобы избежать проблем, которые возникают, когда две частицы идентичны, мы будем считать, что они не идентичны: числа (1) и (2), которыми они помечены, указывают на их природу. Например, (1) будет обозначать протон, а (2) — электрон.

Выбираем основу,$\{|u_i\rangle\}$, в пространстве состояний$\mathcal{E}(1)$частицы (1). Поскольку две частицы имеют одинаковый спин,$\mathcal{E}(2)$изоморфен$\mathcal{E}(1)$, и он может быть охвачен одним и тем же базисом. Беря тензорное произведение, мы строим в пространстве состояний$\mathcal{E}$системы, основа:

$$\{|1: u_i; 2: u_j\}$$

Поскольку порядок векторов не имеет значения в тензорном произведении, мы имеем

$$|2:u_j;1:u_i\rangle = |1:u_i;2:u_j\rangle.$$

Однако обратите внимание, что:

$$|1:u_j; 2:u_i\rangle \neq |1:u_i; 2:u_j\rangle, \quad \text{if} \ i\neq j.$$

Оператор перестановки$P_{21}$затем определяется как линейный оператор, действие которого на базисные векторы определяется выражением:

$$P_{21}|1:u_i;2:u_j\rangle = |2:u_i;1:u_j\rangle = |1:u_j;2:u_i\rangle.$$

Теперь я должен признаться, что это не имеет для меня никакого смысла. Что это за обозначение$|1:u_i;2:u_j\rangle$означает? Сказать частица$1$Я сидел$|u_i\rangle$и частица$2$Я сидел$|u_j\rangle$это то же самое, что сказать, что система находится в состоянии$|u_i\rangle\otimes |u_j\rangle$. Но я понятия не имею, что означает это обозначение, которое он использует.

Итак, как понимать этот кусок текста, который говорит автор? Как понимать его обозначения, и особенно, как$P_{21}$строго определено. Я действительно не могу понять, как:

отличается от

Так как же нам понимать это обозначение и действие этого оператора с математической точки зрения?