Имеет ли эрмитов оператор H=−d2dx2H=−d2dx2H=-\frac{d^2}{dx^2} мнимые собственные значения?

Ваши «воображаемые собственные значения» не работают, потому что собственные функции не являются собственными функциями. Они не лежат в$L^2$, как вы, кажется, знаете.

Итак, займемся самим лапласианом:$-\Delta=-\frac{d^2}{dx^2}$. Что я хочу сделать, так это вычислить преобразование Фурье этого оператора, потому что преобразование Фурье диагонализует$-\Delta$, как мы увидим. Из диагональной формы мы можем прочитать спектр и, таким образом, сделать вывод, что спектр состоит из$\mathbb{R}^+$. Я, конечно, не отвечаю на вопрос "почему$e^{ikx}$достаточно для реального$k$", просто потому, что это бессмысленный вопрос в условиях гильбертова пространства.

Итак, давайте сделаем это. Возьмите функцию$\psi\in L^2(\mathbb{R})$и рассчитать:

где мы два раза интегрировали по частям (используя$\psi$обязательно обращается в нуль на бесконечности), а затем дифференцируется$e^{ikx}$. Эта формула означает, что$\mathcal{F}$диагонализует лапласиан, потому что мы только что видели, что преобразование Фурье лапласиана$\mathcal{F}(-\Delta)\mathcal{F}^*$является оператором умножения. Теперь идея состоит в том, что из оператора умножения мы можем прочитать спектр: это существенный диапазон оператора умножения. Только из определения мы видим, что это будет$[0,\infty)$в нашем случае, следовательно$\sigma(-\Delta)=[0,\infty)$.

Мы даже не говорили о$e^{ikx}$, так как решить$e^{ikx}$с воображаемым$k$бизнес? Вам не нужно - ни одна из этих функций не включена.$L^2$, но: если сейчас поставить$\psi(x)=e^{ikx}$с реальным$k$(потому что$k$действительна в преобразовании Фурье!), то она выглядит как собственная функция$-\Delta$. Другими словами: если вы представляете себе пространство, в основе которого лежат функции$e^{ikx}$, то преобразование Фурье лапласиана — это просто бесконечная матрица с собственными значениями$k^2$по диагонали. Однако это не строгая картина!

Изменить: очень хорошее объяснение с большим количеством математики можно найти здесь: https://math.stackexchange.com/questions/766479/what-is-spectrum-for-laplacian-in-mathbbrn Обратите внимание, что это не простая математика, но для того, чтобы понять тонкости этого дела, этого не избежать.

Во-первых, если$k =: i\kappa$является мнимым, собственное значение («энергия») равно$-\kappa^2$, т.е. реальный, но отрицательный:

Физически это мимолетная волна в одном направлении, но безгранично растущая в другом, поэтому, если ваше пространство$x\in\mathbb R$, это недопустимая волновая функция по очень ощутимым физическим причинам: ее нельзя нормализовать. Основная причина заключается в том, что его энергия меньше минимума потенциала, в котором он живет. Любая вводная лекция или книга по КМ должна освещать это, а также описывать этот тип волновой функции (вероятно, в контексте конечных потенциальных барьеров).

Для более формальной, математической стороны вещей следует рекомендовать этот документ: http://arxiv.org/abs/quant-ph/9907069 .

Что касается плоских волн, то они тоже не являются действительно действительными состояниями (физически частица никогда не будет иметь точно определенного импульса), но с ними удобно работать, и часто они адекватны (типичная ситуация: пучок частиц, падающий на мишень). описывается плоской волной). Когда одной плоской волны недостаточно (чтобы быть более реалистичным, частица может быть описана как волновой пакет), вы все равно можете выполнить разложение в терминах плоских волн, то есть преобразование Фурье. Ваше фактическое (хорошее поведение, математически правильное) состояние можно описать как сумму плоских волн.