Подход к выражению |n⟩⟨n||n⟩⟨n||n\rangle\langle n| как многочлен, когда собственные значения вырождены?

Question

Подход к выражению |n⟩⟨n||n⟩⟨n||n\rangle\langle n| как многочлен, когда собственные значения вырождены?

Анод

Если ${|n\rangle}$ являются собственными векторами оператора $A$ затем $|n\rangle\langle n|$ можно выразить через полином конечного порядка

| н ⟩ ⟨ н | "=" \prod_{м \neq н} \frac{А - а_{м}}{а_{н} - а_{м}}

$|n\rangle\langle n| =\prod_{m\ne n} \frac{A-a_m}{a_n-a_m}$

если собственные значения $a_n$ из $A$ различны. Я ищу способ сделать то же самое, но с вырожденными собственными значениями.

Моя трудность заключается в том, что вывод этого отношения начинается с рассмотрения произведения $\prod_{m\ne n}(A-a_m) \mathbf{I}$ а затем использует отношение $\mathbf{I}=\sum_k | k\rangle\langle k|$ чтобы перейти к результату выше. Начиная с продукта, исключая $n=m$ термин немного неудобен, так как он не позволяет мне обобщать случай, когда два собственных значения совпадают.

В случае с вырожденными собственными значениями, могу ли я исключить дополнительные члены из произведения, чтобы получить желаемый результат? Я просто ищу подсказку о том, как подойти к этому, а не выработанное решение.

Эмилио Писанти

Разве это не более рациональная функция, чем многочлен?

Ответы (1)

Подход к выражению |n⟩⟨n||n⟩⟨n||n\rangle\langle n| как многочлен, когда собственные значения вырождены?

Разве это не более рациональная функция, чем многочлен?

Qмеханик · Answer 1

Подсказки:

Предположим, что $H$ является комплексным гильбертовым пространством.
Предположим, что $A:H\to H$ это обычный оператор $^1$ . Тогда вариант спектральной теоремы говорит, что $A$ ортонормировано диагонализируемо.
Позволять $(\lambda_i)_{i\in I}$ обозначим множество различных собственных значений $A$ с соответствующими кратностями $(m_i)_{i\in I}$ .
Позволять $P_i$ — оператор ортогонального проектирования на собственное пространство $\ker(A-\lambda_i {\bf 1})\subseteq H$ .
Тогда обобщение формулы ОП гласит:
$п_{я} "=" \prod_{Дж е я ∖ {я}} \frac{А - λ_{Дж}}{λ_{я} - λ_{Дж}} .$ $P_i ~=~ \prod_{j\in I\backslash\{i\}} \frac{A-\lambda_j}{\lambda_i-\lambda_j}.$

--

$^1$ В этом ответе мы будем игнорировать тонкости с неограниченными операторами , доменами, самосопряженными расширениями и т.д.

Короче говоря, это обозначает собственное пространство для собственного значения $\lambda_i$ . Эквивалентно, это ядро для оператора $A-\lambda_i {\bf 1}$ .
ОП := оригинальный постер. В данном случае: Вы.
Если бы, например, у меня было \lambda_2=\lambda_3 и i=1..3, то я бы умножил на i=1,2 ?
Карта $I\ni i\mapsto \lambda_i\in \mathbb{C}$ неявно предполагается инъективным в моей терминологии.

Подход к выражению |n⟩⟨n||n⟩⟨n||n\rangle\langle n| как многочлен, когда собственные значения вырождены?

Анод

Эмилио Писанти

Ответы (1)

Qмеханик

Qмеханик

Анод

Qмеханик

Анод

Qмеханик

Почему при обобщении дискретных (но бесконечных) собственных состояний на непрерывные собственные состояния мы меняем определение?

Соотношение замыкания для вырожденных собственных множеств

Собственные значения бесконечномерной матрицы [дубликат]

Имеет ли эрмитов оператор H=−d2dx2H=−d2dx2H=-\frac{d^2}{dx^2} мнимые собственные значения?

Почему гарантировано существование скалярных произведений собственных функций оператора с дискретным спектром собственных значений?

Почему собственные функции, соответствующие дискретным/непрерывным спектрам собственных значений, гарантированно являются нормируемыми/ненормализуемыми?

Можно ли нормируемую функцию всегда разложить на дискретный спектр водорода?

Резольвентный оператор в QM

Построение дифференциального уравнения по произвольному гамильтониану

Собственные векторы pxpxp_x в конкретном домене