Построение дифференциального уравнения по произвольному гамильтониану

Предположим, я начну с не зависящего от времени уравнения Шрёдингера

( − 1 2 м ∂ Икс 2 + В ( Икс ) ) ψ н ( Икс ) "=" Е н ψ н ( Икс ) ,
обычно мы указываем функцию В а затем решить для набора собственных функций и собственных значений. И просто чтобы быть немного более общим, мы делаем то же самое с уравнениями Штурма-Лиувилля, которые я напишу в терминах оператора импульса и дополнительной функции U ,
( п ^ U ( Икс ^ ) п ^ + В ( Икс ^ ) ) ψ н "=" Е н ψ н .

Теперь ничто не мешает нам определить новый оператор Гамильтона с теми же собственными векторами, но другими произвольными собственными значениями λ н ,

ЧАС ^ ψ н "=" λ н ψ н
При каких условиях это уравнение на собственные значения для нового гамильтониана может быть представлено в виде дифференциального уравнения (не обязательно второго порядка) в Икс с теми же собственными функциями? Другими словами, когда ЧАС ^ принадлежат алгебре операторов, порожденной Икс ^ и п ^ ?

Я вижу, определяю ли я новые собственные значения некоторым н -независимая функция ф исходных собственных значений λ н "=" ф ( Е н ) , я могу придумать новое дифференциальное уравнение, но исчерпывает ли это возможности?

Ответы (1)

После размышлений об этом, пока исходные собственные значения невырождены, должна быть возможность представить новый гамильтониан дифференциальным уравнением произвольно высокого порядка. Суть в том, что проекционные операторы п н на собственные функции существуют в алгебре, порожденной исходным гамильтонианом ЧАС 0 ^ .

Например, скажем, n-е собственное значение равно Е н "=" 2 , и между 3 и 1 нет других собственных значений. Тогда мы можем выбрать индикаторную функцию ф н ( Икс ) такой, что ф н ( 2 ) "=" 1 но ф н ( Икс ) "=" 0 если Икс меньше 1 или больше 3. При достаточной непрерывности применима теорема Стоуна-Вейерштрасса, и мы можем представить ф по полиномиальной основе

ф н ( Икс ) "=" ∑ к с н , к Икс к .
Тогда оператор
п н ≡ ф н ( ЧАС ^ ) "=" ∑ к с н , к ЧАС 0 ^ к
будет проецироваться на собственную функцию с собственным значением 2. Подробности того, что это работает, даже если мы имеем дело с бесконечными суммами, приведены в доказательствах двойственности Гельфанда .

Поскольку проекторы находятся в алгебре, порожденной ЧАС ^ 0 , произвольный гамильтониан ЧАС ^ тоже в алгебре

ЧАС "=" ∑ н λ н п н "=" ∑ н , к λ н с н , к ЧАС 0 ^ к ,

а поскольку исходный гамильтониан можно разложить по функциям ∂ Икс и Икс , гамильтониан ЧАС ^ тоже может, хотя теперь вообще дифференциальное уравнение будет сколь угодно высокого порядка.

Совет: \hat{H}_0выглядит намного лучше, чем \hat{H_0}( ЧАС ^ 0 против ЧАС 0 ^ ).
Обратите внимание, что Стоун-Вейерштрасс не должен применяться. (а) он применим только к компактной области, и (б) он обеспечивает одинаково хорошие полиномиальные приближения, но они все еще являются только приближениями, которые (в) не обязательно должны сходиться, и даже когда они сходятся (г) не обязательно должны оставаться полиномиальными.
Очень наивно, если вы можете найти ф такой, что λ н "=" ф ( Е н ) , то можно просто взять ф ( ЧАС ^ 0 ) . Вы можете выполнить некоторую полиномиальную интерполяцию, чтобы найти полиномиальное приближение к ф .
Построение дифференциального уравнения по произвольному гамильтониану
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v