Резольвентный оператор в QM

Question

Резольвентный оператор в QM

пользователь158962

На лекции преподаватель упомянул, что

«когда дискретный энергетический спектр становится непрерывным, а полюса резольвенты стягиваются в непрерывную линию. Поэтому он становится разветвлением».

Это мне непонятно. Я понимаю, что полюса резольвенты — это собственные значения энергии, но как получается, что особенность становится точкой ветвления в непрерывном случае? Было бы здорово, если бы кто-нибудь разъяснил мне это.

пользователь154997

Под резольвентой вы подразумеваете гамильтониан

H

$H$ и одно из его собственных значений

E

$E$ , Оператор

(H - E 1)^{- 1}

$(H-E\mathbb{1})^{-1}$ , не так ли?

АВСD

Да, резольвента

(H - E 𝟙)^{-} 1

$(H−E𝟙)^−1$

Ответы (1)

Резольвентный оператор в QM

Под резольвентой вы подразумеваете гамильтониан $H$ и одно из его собственных значений $E$ , Оператор $(H-E\mathbb{1})^{-1}$ , не так ли?

Рубен Верресен · Answer 1

Как прекрасно объяснил Рон Маймон в этом ответе , можно представить себе разрезанную ветвь как непрерывную линию полюсов, каждый из которых имеет бесконечно малый остаток . Например, цитируя его,

\int_{а}^{б} \frac{1}{г - ты} г ты "=" бревно (\frac{г - а}{г - б})

$\int_a^b \frac{1}{z-u} \mathrm du= \log \left( \frac{z-a}{z-b} \right)$ причем последний действительно имел ветку, перерезанную между

z = a

$z =a$ и

z = b

$z=b$ .

Например, если $b= - a$ , многозначная функция в правой части имеет вид

(изображение предоставлено MIT OpenCourseWare )

Большое спасибо. Каков физический смысл этого? Кроме того, означает ли это, что любую сложную функцию с ветвью можно аппроксимировать с помощью полюсов? Например, если у меня есть функция квадратного корня, которая имеет сингулярность с разрезом ветви, можно ли ее рассматривать как «непрерывную линию полюсов, каждый с бесконечно малым остатком». Пожалуйста, уточните.
(1) Хорошо, что вы подразумеваете под «физическим смыслом»? Вы все еще можете думать о непрерывной линии полюсов, но из-за несчетного количества состояний необходимо соответствующим образом изменить нормализацию. Так что какой бы «физический смысл» вы ни придавали одному полюсу, он по-прежнему актуален здесь. (2) Это хороший вопрос. На самом деле, если вы посмотрите на ответ Рона Маймона, он объясняет, как можно таким образом переписать функцию квадратного корня :) У меня нет доказательства того, что это можно сделать для любой функции с отрезанной ветвью, но это кажется правдоподобным.

Резольвентный оператор в QM

пользователь158962

пользователь154997

АВСD

Ответы (1)

Рубен Верресен

пользователь158962

Рубен Верресен

Почему при обобщении дискретных (но бесконечных) собственных состояний на непрерывные собственные состояния мы меняем определение?

Соотношение замыкания для вырожденных собственных множеств

Собственные значения бесконечномерной матрицы [дубликат]

Имеет ли эрмитов оператор H=−d2dx2H=−d2dx2H=-\frac{d^2}{dx^2} мнимые собственные значения?

Почему гарантировано существование скалярных произведений собственных функций оператора с дискретным спектром собственных значений?

Почему собственные функции, соответствующие дискретным/непрерывным спектрам собственных значений, гарантированно являются нормируемыми/ненормализуемыми?

Можно ли нормируемую функцию всегда разложить на дискретный спектр водорода?

Построение дифференциального уравнения по произвольному гамильтониану

Подход к выражению |n⟩⟨n||n⟩⟨n||n\rangle\langle n| как многочлен, когда собственные значения вырождены?

Собственные векторы pxpxp_x в конкретном домене