Почему гарантировано существование скалярных произведений собственных функций оператора с дискретным спектром собственных значений?

Спектр ограниченного линейного оператора$A$по определению множество чисел$\lambda$куда$A-\lambda$не является обратимым. В конечномерном случае это означает$A-\lambda$не является ни инъективным, ни сюръективным, а первое утверждение — просто причудливый способ сказать, что существует собственный вектор; поскольку этот собственный вектор по определению является частью гильбертова пространства, он, в частности, нормализуем.

Однако в бесконечномерном случае инъективный и сюръективный перестают быть эквивалентными, и спектр распадается на точечный спектр, непрерывный спектр и остаточный спектр.

Точечный спектр — это часть спектра, где карта не является инъективной (может быть, нетрудно доказать, что она действительно дискретна — слишком лень исследовать прямо сейчас). Остаточный спектр пуст для нормальных операторов (и, следовательно, в частности для самосопряженных операторов), что оставляет непрерывный спектр, где отображение инъективно (и, следовательно, нет собственных векторов), но не сюръективно. Концепция собственного вектора просто не имеет смысла для непрерывного спектра в этом формализме.

Ситуация запутывается (или, в зависимости от вашей точки зрения, не запутывается) в формализме оснащенных гильбертовых пространств, который является подходящей основой для рассмотрения неограниченных операторов: оснащенные гильбертовы пространства позволяют нам вводить «собственные векторы», которые не не является частью нашего гильбертова пространства. В частности, в случае гильбертова пространства$L^2$, они могут быть ненормируемыми функциями (например, плоские волны) или вообще не быть функциями (например, дельта-распределения).

Полное объяснение можно найти в книге функционального анализа.

Но для дискретных точек спектра можно явно записать оператор проектирования на соответствующее собственное пространство:

Резольвента оператора имеет полюса в дискретных точках спектра, и вычет такого полюса является оператором проектирования на соответствующее собственное пространство, см . http://en.wikipedia.org/wiki/Resolvent_formalism .

Вот частичный ответ на вопрос (v1). OP должен был бы предоставить более математически точные детали и предположения, чтобы гарантировать, что собственный вектор (для оператора$H$с дискретным спектром) имеет конечную норму, т. е. нормализуется. Например, в рамках оснащенных гильбертовых пространств .

Контрпример: домен$D:=C^{\infty}(\mathbb{R})$= бесконечно часто дифференцируемые комплексные функции на прямой$\mathbb{R}$. Норма:

Пусть оператор$H:=0$быть нулевым оператором, принимающим на себя все функции$f$к нулевой функции$0$. (Отметим, что пара$(H,D)$может быть изменен, чтобы стать самосопряженным оператором , но здесь подробности пропускаются.) Спектр является дискретным

Любая функция$f\in D\backslash\{0\}$является собственной функцией для$H$с собственным значением$0$, но норма$|| f||^2$не обязательно конечно.

Комплиментарный вопрос - настоящий вопрос здесь. Если у вас есть непрерывный набор векторов, может возникнуть разрыв, и в этом случае внутренний продукт будет зависеть от того, как вы приближаетесь к разрыву. В этом случае мы можем сказать, что внутренний продукт не существует. Это не проблема с дискретным набором векторов.