Можно ли нормируемую функцию всегда разложить на дискретный спектр водорода?

Question

Можно ли нормируемую функцию всегда разложить на дискретный спектр водорода?

анон01

Этот вопрос беспокоит меня уже некоторое время: можно ли восстановить произвольную (нормализуемую) функцию $\phi(\mathbf r)$ в $\mathbb R^3$ , только с ( дискретным ) набором волновых функций Водорода (или, например, собственных функций трехмерного гармонического осциллятора), или нужно также включать свободные состояния? Есть много источников (Гриффитс, другие), которые предполагают, что это «полная» основа, на основе которой мы можем построить любую непатологическую функцию.

Однако, если они полны, как они могут быть ортогональны свободным состояниям? Я отмечу, что есть очень похожие вопросы, заданные в другом месте Physics SE, здесь и здесь : один спрашивает, должны ли состояния континуума быть включены в пертурбативное расширение (хотя это почти всегда опускается!), другой предполагает, что свободные состояния являются «ортогональным дополнением». (где-то в комментариях), но, похоже, консенсуса нет. Разъяснение будет оценено.

СлучайныйПреобразование Фурье

« Но если они полны, как они могут быть ортогональны свободным состояниям? », потому что свободные состояния патологически .

анон01

Вы не можете построить свободные состояния, которые являются нормализуемыми волновыми пакетами?

Эмилио Писанти

Я бы посоветовал вам ссылаться на примеры, которые вы цитируете (в основном потому, что этот вопрос будет отображаться Linkedтам). Хороший вопрос.

любопытный разум

Тесно связаны: physics.stackexchange.com/q/44839/50583 ; Также полезно, потому что он описывает, как получить нормализуемые состояния рассеяния: physics.stackexchange.com/q/90101/50583

анон01

@EmilioPisanty да, я пытаюсь их найти. ACuriousMind уже нашел, добавлю ссылку в вопрос.

любопытный разум

«Кажется, консенсуса нет» может быть связано с тем, что мой ответ был неправильным по одной из ссылок, которые я сейчас удалил. Если это так, извините за это.

анон01

@ ACuriousMind, спасибо за это. Кажется, вы уже ступили на эту почву - не хотите ответить?

Рококо

Я думаю, что необходимой концепцией в этом обсуждении является концепция оснащенного гильбертова пространства . У меня нет математической подготовки, чтобы самому дать ответ, но вы можете посмотреть такие ответы: physics.stackexchange.com/questions/43515/… ? и, возможно, понять некоторые формальные математические основы этого вопроса.

Ответы (2)

Можно ли нормируемую функцию *всегда* разложить на дискретный спектр водорода?

« Но если они полны, как они могут быть ортогональны свободным состояниям? », потому что свободные состояния патологически .
Вы не можете построить свободные состояния, которые являются нормализуемыми волновыми пакетами?
Я бы посоветовал вам ссылаться на примеры, которые вы цитируете (в основном потому, что этот вопрос будет отображаться Linkedтам). Хороший вопрос.
Тесно связаны: physics.stackexchange.com/q/44839/50583 ; Также полезно, потому что он описывает, как получить нормализуемые состояния рассеяния: physics.stackexchange.com/q/90101/50583
@EmilioPisanty да, я пытаюсь их найти. ACuriousMind уже нашел, добавлю ссылку в вопрос.
«Кажется, консенсуса нет» может быть связано с тем, что мой ответ был неправильным по одной из ссылок, которые я сейчас удалил. Если это так, извините за это.
@ ACuriousMind, спасибо за это. Кажется, вы уже ступили на эту почву - не хотите ответить?
Я думаю, что необходимой концепцией в этом обсуждении является концепция оснащенного гильбертова пространства . У меня нет математической подготовки, чтобы самому дать ответ, но вы можете посмотреть такие ответы: physics.stackexchange.com/questions/43515/… ? и, возможно, понять некоторые формальные математические основы этого вопроса.

Эмилио Писанти · Answer 1

Отвечая на заглавный вопрос: нет, не всегда можно разложить $L_2$ функционируют в терминах только связанного спектра водорода.

Это связано с тем, что существуют ортогональные функции для всех связанных состояний, которые естественным образом представляют собой свободные состояния электрона. Самыми быстрыми примерами являются, конечно, собственные функции кулоновской волны $|\chi_{E,l,m}⟩$ непрерывного спектра водорода, и они не нормируются, но вы можете взять комбинации вида

| ψ ⟩ знак равно \sum_{л, м} \int ф_{л м} (Е) | х_{Е, л, м} ⟩ г Е

$|\psi⟩=\sum_{l,m}\int f_{lm}(E)|\chi_{E,l,m}⟩\mathrm dE$ которые попадают в

L_{2}

$L_2$ , и которые ортогональны всем связанным состояниям, поскольку кулоновские волны

| χ_{E, l, m} ⟩

$|\chi_{E,l,m}⟩$ ортогональны связанным состояниям (поскольку они являются собственными функциями одного и того же оператора с разными собственными значениями.

Это дополнительно разъясняется в этом ответе Арнольда Ноймайера и в этом вопросе ; предыдущий ответ на этот вопрос гласит, что непрерывные кулоновские волны формально не являются частью гильбертова пространства, но это не означает, что их неформальный «размах» не является.

Для получения дополнительной информации об этих вещах (включая формальные доказательства ортогональности и (не)-полноты и т. д.) мне очень нравятся Лекции по квантовой механике для студентов-математиков Л. Д. Фаддеева и О. А. Якубовского и « Квантовая механика для математиков » Л. А. Анатолию Кочубею здесь за ссылки).

Если вам нужен конкретный пример чего-то, что будет находиться за пределами диапазона ограниченного спектра, просто возьмите гауссов волновой пакет, движущийся достаточно быстро,

\begin{matrix} (1) & ψ (р) знак равно {(\frac{2 π}{о^{2}})}^{3 / 2} опыт (- \frac{(р - р_{0})^{2}}{2 о^{2}} + я к г), \end{matrix}

$\psi(\mathbf r)=\left(\frac{2\pi}{\sigma^2}\right)^{3/2}\exp\left(-\frac{(\mathbf r-\mathbf r_0)^2}{2\sigma^2}+ikz\right), \tag1$ спроецируйте компоненты связанного состояния и нормализуйте - из физических соображений у вас должен остаться ненулевой остаток.

Как указано в комментарии Руслана, волновая функция в $(1)$ должен включать ненулевую опору за пределами многообразия связанных состояний, потому что любая комбинация формы $\sum_{n,l,m}a_{n,l,m}|n,l,m⟩$ всегда будет иметь отрицательное среднее значение энергии, тогда как состояние в $(1)$ будет иметь положительную ожидаемую энергию всякий раз, когда $k$ а также $1/\sigma$ достаточно велики. Это сводится к рутинным вычислениям, поэтому я не буду выполнять их здесь, но ядро очевидно из физических соображений, и если вы действительно заботитесь об этом, то это рутинная процедура, чтобы превратить его в строгий аргумент.

В любом случае, я не уверен, что какой-либо из этих ответов был неясен, но чтобы быть полностью явным:

Собственные состояния континуума кулоновских волн гидрогенного гамильтониана ортогональны связанным состояниям. (Сами собственные состояния не находятся в $L^2$ , через обычную ригамаролу ненормируемых состояний, но могут быть линейные комбинации из них, и они останутся ортогональными связанным состояниям.)
Связанные состояния гидрогенного гамильтониана не являются полной основой для $L^2(\Bbb R^3)$ .

Ваш вопрос не включает каких-либо конкретных примеров источников, утверждающих обратное, поэтому невозможно далее комментировать, почему у вас сложилось неверное впечатление, что нет единого мнения ни по одному из двух пунктов выше.

Спасибо за ответ. Верно ли это и для реальных волновых функций? Я думал, что это будет эквивалентно гауссовой волновой функции через локальное калибровочное преобразование exp(if(r))...
Очевидно, что так. Если $\mathrm{Re}(\psi(\mathbf r))$ а также $\mathrm{Im}(\psi(\mathbf r))$ находились в промежутке связанных состояний, то так бы $\psi$ .
Можете ли вы математически показать, что ваш пример имеет ненулевой остаток? Для меня не очевидно, что вы не можете разложить, например, exp (-r ^ 2) * cos (kr) на состояния водорода для произвольного конечного значения k. Я стараюсь не полагаться на физические соображения — они поставили меня в эту головоломку с самого начала.
@ConfusinglyCuriousTheThird для любого состояния его средняя энергия не может быть больше, чем энергия самого энергичного базисного состояния, используемого для расширения. Таким образом, если вы возьмете $\psi$ иметь $E>0$ , то никакой набор волновых функций связанного состояния водорода не сможет его представить — должна быть хотя бы одна функция с $E>0$ в расширении $\psi$ , но связанные с водородом состояния всегда имеют $E<0$ .
@EmilioPisanty спасибо за явный добавленный материал. С этой точки зрения возникает некоторая путаница: я могу выразить собственные состояния с отрицательной энергией через преобразование Фурье как $\phi_i(\mathbf p)$ . Но это именно состояние свободных состояний (импульсный базис плоских волн в декартовом разложении), которому они должны быть ортогональны. Можно ли тогда получить «истинно свободные состояния», «вычитая» связанные состояния из состояний плоской волны, когда присутствует потенциал связи?
@EmilioPisanty Что касается вашего примера $\psi(\mathbf r)$ в ответе: плотность вероятности $|\psi|^2$ не зависит от добавления плоской волны; действительно ли это находится за пределами диапазона собственных функций отрицательной энергии?
@Конф Да. Волновые функции — это нечто большее, чем просто их модуль (иначе мы бы использовали плотности вместо амплитуд). В этом случае ожидаемая кинетическая энергия растет линейно с $k^2$ (а также линейно с $1/\sigma^2$ ), тогда как ожидаемая потенциальная энергия в значительной степени не зависит от двух, поэтому, если эти два достаточно велики, общая ожидаемая энергия будет положительной. Тем не менее, ничто не заменит вас, если вы действительно сядете и возьметесь за перо, прежде чем начнете обвинять других в своем «недовольстве» квантовой механикой.

Арнольд Ноймайер · Answer 2

Если вы проинтегрируете набор континуальных состояний атома водорода, взвешенных гладкой функцией, по открытому и ограниченному набору в пространстве параметров, с помощью которых этот набор параметризуется, вы получите нормализуемое состояние, ортогональное всем дискретным энергетическим состояниям .

Можно ли нормируемую функцию всегда разложить на дискретный спектр водорода?

анон01

СлучайныйПреобразование Фурье

анон01

Эмилио Писанти

любопытный разум

анон01

любопытный разум

анон01

Рококо

Ответы (2)

Эмилио Писанти

анон01

Эмилио Писанти

анон01

Руслан

анон01

анон01

Эмилио Писанти

Арнольд Ноймайер

Почему при обобщении дискретных (но бесконечных) собственных состояний на непрерывные собственные состояния мы меняем определение?

Соотношение замыкания для вырожденных собственных множеств

Собственные значения бесконечномерной матрицы [дубликат]

Имеет ли эрмитов оператор H=−d2dx2H=−d2dx2H=-\frac{d^2}{dx^2} мнимые собственные значения?

Почему гарантировано существование скалярных произведений собственных функций оператора с дискретным спектром собственных значений?

Почему собственные функции, соответствующие дискретным/непрерывным спектрам собственных значений, гарантированно являются нормируемыми/ненормализуемыми?

Резольвентный оператор в QM

Построение дифференциального уравнения по произвольному гамильтониану

Подход к выражению |n⟩⟨n||n⟩⟨n||n\rangle\langle n| как многочлен, когда собственные значения вырождены?

Собственные векторы pxpxp_x в конкретном домене