Как выполнить вращение фитиля в лагранжиане калибровочной теории (например, КХД)?

Question

Как выполнить вращение фитиля в лагранжиане калибровочной теории (например, КХД)?

Физика
Ян-Миллс
калибровочная теория
вращение фитиля
лагранжев формализм
квантовая хромодинамика

Вильгельм М

Я изучаю КХД на решетке и застрял в понимании процесса перехода от пространства-времени Минковского к евклидову пространству-времени. Моя процедура следующая:

Я рассматривал вращение Вика в квантовой механике $x_0 \to -i x_4$ . Исходя из этого, я подумал, что было бы разумно предположить, что для потенциального вектора вращение Вика будет $A_0 \to -i A_4$ , поскольку $A_\mu$ является четырехвекторным, как $x_\mu$ . Из этого следует $F_{0 i}F^{0 i} \to -F_{4 i}F_{4 i}$ и предполагая метрику $g^{\mu \nu} = \;\mbox{diag}(1,-1,-1,-1)$ , это приводит к $F_{\mu \nu}F^{\mu \nu} \to -F_{\mu \nu}F_{\mu \nu}$ . Теперь, учитывая, что $d^4x = dt\, d^3x \to -i d\tau\, d^3x$ действие должно преобразовываться как

я С знак равно - \frac{я}{2} \int д^{4} Икс Тр (Ф_{мю ν} Ф^{мю ν}) \to \frac{1}{2} \int д^{4} Икс Тр (Ф_{мю ν} Ф_{мю ν}) знак равно С_{Е},

$\begin{equation} i S = -\frac{i}{2}\int d^4x \;\mbox{Tr}(F_{\mu \nu}F^{\mu \nu}) \to \frac{1}{2}\int d^4x \;\mbox{Tr}(F_{\mu \nu}F_{\mu \nu}) = S_E\,, \end{equation}$ куда

S_{E}

$S_E$ это евклидово действие, которое является положительным числом. Так,

i S \to S_{E}

$iS \to S_E$ вместо ожидаемого

i S \to - S_{E}

$iS \to -S_E$ . Я явно делаю что-то не так. Я подозреваю, что это могло быть в трансформации

d^{4} x

$d^4x$ , но я не понимаю, почему это было бы неправильно. Одна вещь, которую я заметил, это то, что если я использую метрику

g^{μ ν} = diag (- 1, 1, 1, 1)

$g^{\mu \nu} = \;\mbox{diag}(-1,1,1,1)$ , то я получаю правильный сигнал. Но это изменяет метрику в середине расчета, что было бы неправильно без компенсации соответствующим отрицательным сигналом, и тогда проблема сохранится.

У меня тоже проблемы с Фермионным сектором. я считал $\partial_0 \to -i\partial_4$ после преобразования $x_0$ . Кроме того, я видел в книгах (Gattringer, Rothe), что необходимо, чтобы $\gamma^0 \to \gamma_4$ и $\gamma^i \to i \gamma_i$ поэтому определение для $\gamma$ матрицы могут меняться от $\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\} = 2 g^{\mu \nu} \to \{\gamma_\mu, \gamma_\nu\} = 2 \delta_{\mu \nu}$ . Это видится разумным. Проблема в том, что трансформация в действии становится

я С знак равно я \int д^{4} Икс \bar{ψ} (я γ^{мю} \partial_{мю} + {грамм}_{0} γ^{мю} А_{мю} - м) ψ \to \int д^{4} Икс \bar{ψ} (γ_{мю} \partial_{мю} - я {грамм}_{0} γ_{мю} А_{мю} - м),

$\begin{equation} iS = i\int d^4x \; \bar{\psi}(i\gamma^\mu \partial_\mu + g_0 \gamma^\mu A_\mu - m)\psi \to \int d^4x \;\bar{\psi}(\gamma_\mu \partial_\mu - i g_0 \gamma_\mu A_\mu - m)\,, \end{equation}$

что не является евклидовым действием. я пытался использовать $A_0 \to i A_4$ в надежде, что я мог сделать какую-то ошибку в приведенной выше логике, но не повезло. Итак, каков рецепт выполнения вращения фитиля? Как выяснить, какие преобразования я должен выполнить при вращении фитиля?

Ответы (1)

Как выполнить вращение фитиля в лагранжиане калибровочной теории (например, КХД)?

Qмеханик · Answer 1

I) Бозонная часть: когда мы вращаем фитиль, более естественно использовать соглашение о подписи. $(-,+,+,+)$ для метрики Минковского (М) $g^M_{\mu\nu}$ , и $(+,+,+,+)$ для евклидовой (E) метрики $g^E_{\mu\nu}$ , ср. например, мой ответ Phys.SE здесь . Мы будем использовать греческие индексы $\mu,\nu=0,1,2,3$ , для обозначения индексов искривленного пространства-времени; Римские индексы $a,b=0,1,2,3$ , для плоских индексов пространства-времени; и римские индексы $j,k=1,2,3$ , для пространственных индексов. Мы не будем переименовывать $x^0=x^4$ чтобы не ошибиться с ориентацией.

Стандартные соглашения для вращения фитиля: [1]

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} - С_{Е} знак равно & я С_{М} действие, \\ т_{Е} знак равно & я т_{М} время, \\ - л_{Е} знак равно & л_{М} лагранжева плотность, \\ г^{4} {Икс}_{Е} знак равно & я г^{4} {Икс}_{М} пространство-время 4 -форма, \\ - л_{Е} знак равно & я л_{М} лагранжиан 4 -форма, \\ В_{Е}^{0} знак равно & я В_{М}^{0} нулевой комп. контравариантного вектора, \\ В_{0}^{М} знак равно & я В_{0}^{Е} нулевая комп. ковариантного вектора, \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} -S_E~=~&iS_M \quad\text{action}, \cr t_E~=~&it_M \quad\text{time}, \cr -{\cal L}_E~=~&{\cal L}_M \quad\text{Lagrangian density}, \cr d^4x_E~=~&id^4x_M \quad\text{spacetime $4$-form}, \cr -\mathbb{L}_E~=~&i\mathbb{L}_M \quad\text{Lagrangian $4$-form}, \cr V_E^0~=~&iV_M^0 \quad\text{zero-comp. of contravariant vector}, \cr V^M_0~=~&iV^E_0 \quad\text{zero-comp. of covariant vector}, \end{align}\tag{1}$

и прямое обобщение на тензорные поля $T^{\mu_1\ldots\mu_r}{}_{\nu_1\ldots\nu_s}$ . (Примечание: индексы символа Леви-Чивиты не вращаются Виком, так как значения символа состоят только из $\pm 1$ и $0$ .) И изогнутые, и плоские индексы вращаются фитилем. По этой причине определитель vielbein

\begin{matrix} (2) & е знак равно дет (е_{мю}^{а}) и \sqrt{| грамм |} знак равно \sqrt{дет ({грамм}_{мю ν}) дет (η^{а б})} \end{matrix}

$e~=~\det(e^a_{\mu})\quad\text{and}\quad\sqrt{|g|}~=~\sqrt{\det(g_{\mu\nu})\det(\eta^{ab})}\tag{2}$ инвариантны относительно Вика-вращения.

Пример: топологический/тета/терм Черна-Саймонса. Рассмотрим лагранжев 4-формный член вида $4$ -форма

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} я л_{Е} \overset{(1)}{знак равно} & л_{М} знак равно {Ом}_{М} знак равно г^{4} {Икс}_{М} {Ом}_{0123}^{М} \\ \overset{(1)}{знак равно} & г^{4} {Икс}_{Е} {Ом}_{0123}^{Е} знак равно {Ом}_{Е} . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} i\mathbb{L}_E~\stackrel{(1)}{=}~&\mathbb{L}_M~=~\Omega_M~=~d^4x_M ~\Omega^M_{0123}\cr ~\stackrel{(1)}{=}~&d^4x_E ~\Omega^E_{0123}~=~\Omega_E. \end{align}\tag{3}$ Соответствующий член лагранжевой плотности читается

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} - л_{Е} \overset{(1)}{знак равно} & л_{М} знак равно \frac{е}{4!} ε^{{мю}_{0} {мю}_{1} {мю}_{2} {мю}_{3}} {Ом}_{{мю}_{0} {мю}_{1} {мю}_{2} {мю}_{3}}^{М} знак равно {Ом}_{0123}^{М} \\ \overset{(1)}{знак равно} & я {Ом}_{0123}^{Е} знак равно \frac{я е}{4!} ε^{{мю}_{0} {мю}_{1} {мю}_{2} {мю}_{3}} {Ом}_{{мю}_{0} {мю}_{1} {мю}_{2} {мю}_{3}}^{Е} . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} -{\cal L}_E~\stackrel{(1)}{=}~& {\cal L}_M~=~\frac{e}{4!}\varepsilon^{\mu_0\mu_1\mu_2\mu_3} \Omega^M_{\mu_0\mu_1\mu_2\mu_3}~=~ \Omega^M_{0123}\cr ~\stackrel{(1)}{=}~&i\Omega^E_{0123}~=~\frac{ie}{4!}\varepsilon^{\mu_0\mu_1\mu_2\mu_3} \Omega^E_{\mu_0\mu_1\mu_2\mu_3} .\end{align}\tag{4}$

Пример: кинетический $F\wedge \star F$ срок.

\begin{matrix} (5) & л_{Е} \overset{(1)}{знак равно} - л_{М} знак равно \frac{е}{4} Ф_{мю ν}^{М} Ф_{М}^{мю ν} \overset{(1)}{знак равно} \frac{е}{4} Ф_{мю ν}^{Е} Ф_{Е}^{мю ν} . \end{matrix}

${\cal L}_E~\stackrel{(1)}{=}~-{\cal L}_M~=~\frac{e}{4}F^M_{\mu\nu}F_M^{\mu\nu}~\stackrel{(1)}{=}~\frac{e}{4}F^E_{\mu\nu}F_E^{\mu\nu}.\tag{5}$

Пример: КЭД в плоском пространстве. Давайте здесь рассмотрим только КЭД (абелеву калибровочную теорию) и предоставим читателю возможность обобщить ее на КХД (неабелеву калибровочную теорию). Нулевая компонента калибровочных переменных (с индексами вниз) является ковектором/одной формой и должна преобразовываться как производная по времени

\begin{matrix} (6) & \frac{\partial}{\partial т_{М}} \overset{(1)}{знак равно} я \frac{\partial}{\partial т_{Е}} \end{matrix}

$\frac{\partial}{\partial t_M}~\stackrel{(1)}{=}~i \frac{\partial}{\partial t_E}\tag{6}$

при вращении Вика. Из этого следует

\begin{matrix} (7) & - А_{М}^{0} знак равно А_{0}^{М} \overset{(1)}{знак равно} я А_{0}^{Е} знак равно я А_{Е}^{0}, Ф_{0 Дж}^{М} \overset{(1)}{знак равно} я Ф_{0 Дж}^{Е}, \end{matrix}

$-A^0_M~=~A^M_0~\stackrel{(1)}{=}~iA^E_0~=~iA^0_E, \qquad F^M_{0j}~\stackrel{(1)}{=}~iF^E_{0j},\tag{7}$

Следовательно, плотность лагранжиана Максвелла преобразуется как

\begin{matrix} (8) & л_{М} знак равно - \frac{1}{4} Ф_{мю ν}^{М} Ф_{М}^{мю ν} знак равно \frac{1}{2} Ф_{0 Дж}^{М} Ф_{0 Дж}^{М} - \frac{1}{4} Ф_{Дж к} Ф_{Дж к}, \end{matrix}

${\cal L}_M~=~-\frac{1}{4}F^M_{\mu\nu}F_M^{\mu\nu}~=~\frac{1}{2}F^M_{0j}F^M_{0j}-\frac{1}{4}F_{jk}F_{jk}, \tag{8}$

\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} л_{М} знак равно & Т_{М} - В, \\ Т_{М} знак равно & \frac{1}{2} Ф_{0 Дж}^{М} Ф_{0 Дж}^{М}, \\ В знак равно & \frac{1}{4} Ф_{Дж к} Ф_{Дж к}; \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} {\cal L}_M~=~&{\cal T}_M-{\cal V},\cr {\cal T}_M~=~&\frac{1}{2}F^M_{0j}F^M_{0j}, \cr {\cal V}~=~&\frac{1}{4}F_{jk}F_{jk};\end{align}\tag{9}$

и

\begin{matrix} (10) & л_{Е} знак равно \frac{1}{4} Ф_{мю ν}^{Е} Ф_{Е}^{мю ν} знак равно \frac{1}{2} Ф_{0 Дж}^{Е} Ф_{0 Дж}^{Е} + \frac{1}{4} Ф_{Дж к} Ф_{Дж к}, \end{matrix}

${\cal L}_E~=~\frac{1}{4}F^E_{\mu\nu}F_E^{\mu\nu}~=~\frac{1}{2}F^E_{0j}F^E_{0j}+\frac{1}{4}F_{jk}F_{jk},\tag{10}$

\begin{matrix} (11) & \begin{aligned} л_{Е} знак равно & Т_{Е} + В, \\ Т_{Е} знак равно & \frac{1}{2} Ф_{0 Дж}^{Е} Ф_{0 Дж}^{Е}, \\ В знак равно & \frac{1}{4} Ф_{Дж к} Ф_{Дж к} . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} {\cal L}_E~=~&{\cal T}_E+{\cal V},\cr {\cal T}_E~=~&\frac{1}{2}F^E_{0j}F^E_{0j}, \cr {\cal V}~=~&\frac{1}{4}F_{jk}F_{jk}.\end{align}\tag{11}$

В частности, плотность евклидова лагранжиана ${\cal L}_E$ выглядит как стандартная лагранжева плотность (т.е. кинетический член минус потенциальный член) с кажущимся потенциалом, равным минус ${\cal V}$ .

II) Фермионная часть: Виковское вращение спинорных полей — известная нетривиальная задача, ср. например, ссылки 2-4.

Использованная литература:

В. Сигел, Филдс ; п. 329.
П. ван Ньювенхуизен и А. Уолдрон, Непрерывное вращение Вика для спинорных полей и суперсимметрия в евклидовом пространстве, arXiv:hep-th/9611043 .
А. Дж. Маунтин, Виковское вращение и суперсимметрия , 1999.
А. Билал и С. Мецгер, arXiv:hep-th/0307152 .

Примечания на потом: $\quad -(S_E-\int\! dt_E~J_k\phi^k)~=~-S_E+\int\! dt_E~J_k\phi^k~=~i(S_M+\int\! dt_M~ J_k\phi^k)$ ; Внешние источники $J_k^E~=~J_k^M$ не меняется! $\quad -W_c^E[J]~=~iW_c^M[J]$ ; $\quad -(W_c^E[J] +\int\! dt_E~J_k\phi_{\rm cl}^k )~=~ -\Gamma_E[\phi_{\rm cl}] ~=~i\Gamma_M[\phi_{\rm cl}] ~=~i(W_c^M[J]-\int\! dt_M~J_k\phi_{\rm cl}^k)$ Обратите внимание на лишний минус в преобразовании Лежандра!
Примечания на потом: Термины родственных связей: Анти-действие $\quad s_M := -S_M$ ; $\quad S_E=:s_E=is_M:=-iS_M$ ; Антилагранжева плотность $\quad {\cal L}_E=\ell:=-{\cal L}_M$ ; $\quad\ell={\cal V}+g^{00}{\cal T}$ ;
Примечания на потом: мы неявно предполагаем, что $t_f\geq t_i$ в области временной интеграции. Если $t_f< t_i$ , нам нужно напротив $i\epsilon$ предписание и противоположное вращение фитиля.

Как выполнить вращение фитиля в лагранжиане калибровочной теории (например, КХД)?

Вильгельм М

Ответы (1)

Qмеханик

Qмеханик

Qмеханик

Qмеханик

Инвариантность лагранжиана Янга-Миллса относительно зарядового сопряжения

Лагранжиан Фаддеева-Попова

Калибровочная инвариантность лагранжиана Янга-Миллса

Сколько цветов на самом деле в КХД?

Осевая аномалия в КХД VS осевая аномалия в алгебре токов КХД

Инфинитезимальная калибровочная инвариантность лагранжиана Янга-Миллса

В чем разница между теорией Янга-Миллса и КХД?

Какой нётеровский заряд связан с цветовой SU(3)SU(3)SU(3)-симметрией КХД?

SU(2)SU(2)SU(2) Ян-Миллс EOM

Квантуется ли цветовой заряд?