Калибровочная инвариантность в классической электродинамике

Question

Калибровочная инвариантность в классической электродинамике

Физика
Ян-Миллс
калибровочная теория
калибровочная инвариантность
лагранж-формализм

Каймс

Я думаю, что не совсем понимаю концепцию калибровочной инвариантности. Предположим, у нас есть лагранжиан для классического ЭД:

л "=" - \frac{1}{4} (Ф_{мю ν})^{2} - {Дж}^{мю} А_{мю} .

$\mathcal{L} = -\frac{1}{4} (F_{\mu \nu})^2 - j^{\mu}A_{\mu}.$ Первая часть с тензором Максвелла, конечно, калибровочно инвариантна. После того, как я преобразовал свой A, как

A^{μ} \to A^{μ} + \partial^{μ} f

$A^{\mu} \rightarrow A^{\mu} + \partial^{\mu} f$ ,

f

$f$ функция соединяется с током и т. д., и наш лагранжиан больше не является калибровочно-инвариантным, уравнения движения по-прежнему работают и не зависят от f.

Мои вопросы:

Требуем ли мы полного лагранжиана, чтобы он был калибровочно инвариантным, или только уравнения движения?
Как обстоят дела в других теориях, таких как $SU(2)$ или $SU(3)$ калибровочные теории?

Мэн Ченг

j^{μ}

$j^\mu$ сохраняются, поэтому лагранжиан действительно инвариантен.

Ответы (3)

Калибровочная инвариантность в классической электродинамике

$j^\mu$ сохраняются, поэтому лагранжиан действительно инвариантен.

Ян Лалински · Answer 1

Требуем ли мы полного лагранжиана, чтобы он был калибровочно инвариантным, или только уравнения движения?

С новым потенциалом $A'^\mu$ также новая лагранжева плотность $\mathcal{L}'$ подразумевается, что она является той же функцией своих параметров (потенциала), но должна использоваться в новой калибровке с новыми аргументами (величинами, которые вводятся для оценки функции). А именно $A'^\mu$ используется вместо $A^\mu$ . Таким образом, это одна и та же функция, но может иметь разное значение для конкретной точки пространства-времени. $\mathbf x,t$ потому что используется другой потенциал.

С калибровочным преобразованием

А^{мю} \to А^{' мю} "=" А^{мю} + \partial^{мю} ф

$A^\mu \rightarrow A'^\mu = A^\mu + \partial^\mu f$

значение новой лагранжевой плотности для точки $\mathbf x,t$ является

л^{'} "=" - \frac{1}{4} Ф^{' мю ν} Ф_{мю ν}^{'} + {Дж}^{мю} А_{мю}^{'}

$\mathcal{L}' = -\frac{1}{4}F'^{\mu\nu}F'_{\mu\nu} + j^\mu A'_\mu$

а значение старой лагранжевой плотности для той же точки равно

л "=" - \frac{1}{4} Ф^{мю ν} Ф_{мю ν} + {Дж}^{мю} А_{мю} .

$\mathcal{L} = -\frac{1}{4}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} + j^\mu A_\mu.$

Члены FF имеют одинаковое значение, поскольку член FF является функцией калибровочно-инвариантных полей. $\mathbf E,\mathbf B$ , но члены jA имеют другое значение. Новая лагранжева плотность имеет большее значение на величину

{Дж}^{мю} \partial_{мю} ф .

$j^\mu\partial_\mu f.$

Однако это различие в значениях двух лагранжевых плотностей не приводит ни к какому различию в значениях действий.

С [А^{мю}] "=" \int_{В} г^{3} Икс \int_{т_{1}}^{т_{2}} г т л (А^{мю})

$S[A^\mu] =\int_V\, d^3 \mathbf x \int_{t_1}^{t_2}\, dt \mathcal{L}(A^\mu)$

С^{'} [А^{' мю}] "=" \int_{В} г^{3} Икс \int_{т_{1}}^{т_{2}} г т л^{'} (А^{' мю})

$S'[A'^\mu] =\int_V\, d^3 \mathbf x \int_{t_1}^{t_2}\, dt \mathcal{L}'(A'^\mu)$

если $\mathbf j$ или $\nabla f$ исчезают на границе области $V$ все время и $\rho$ или $\partial_tf$ исчезать временами $t_1,t_2$ повсюду. Это потому, что разница

\int_{В} г^{3} Икс \int_{т_{1}}^{т_{2}} г т {Дж}^{мю} \partial_{мю} ф .

$\int_V\, d^3\mathbf x \int_{t_1}^{t_2}\,dt~ j^\mu\partial_\mu f.$

может быть преобразован в

\int_{В} г^{3} Икс \int_{т_{1}}^{т_{2}} г т \partial_{мю} ({Дж}^{мю} ф) - \int_{В} г^{3} Икс \int_{т_{1}}^{т_{2}} г т \partial_{мю} {Дж}^{мю} ф .

$\int_V\, d^3\mathbf x \int_{t_1}^{t_2}\,dt~ \partial_\mu(j^\mu f) -\int_V\, d^3\mathbf x \int_{t_1}^{t_2}\,dt~ \partial_\mu j^\mu f.$

Второй интеграл равен нулю из-за уравнения

\partial_{мю} {Дж}^{мю} "=" 0

$\partial_\mu j^\mu = 0$ этой плотности тока подчиняется, и первый интеграл может быть преобразован в поверхностный интеграл (с помощью теоремы Гаусса) и равен нулю, если выполняются вышеуказанные условия.

Резюме: и лагранжева плотность, и действие калибровочно-независимы как функции своих параметров - потенциалов. Однако значение лагранжевой плотности не зависит от калибровки, потому что параметр имеет другое значение - $A'^\mu$ вместо $A^\mu$ . Значение действия не зависит от калибровки, поскольку разница в плотности лагранжа интегрируется, чтобы дать нулевой вклад.

Любопытный Разум · Answer 2

Если написать лагранжиан с током внешнего источника $j^\mu$ , то нужно использовать его закон сохранения $\partial_\mu j^\mu = 0$ сделать вывод об инвариантности лагранжиана. Это не "на оболочке" (что сделало бы $\delta S=0$ истинно по определению при любом инфинитезимальном преобразовании), поскольку здесь $j^\mu$ не является динамической переменной, и ее закон сохранения дан нам в качестве дополнительной внешней информации для обеспечения калибровочной инвариантности модели.

Так и есть $j^{\mu}$ U(1) ток, который мы можем получить из теоремы Нётер применительно к свободной теории, а затем мы добавляем его к лагранжиану как линейный член в $A^{\mu}$ поле?
@Caims: Да, это один из способов. Другой — вообще не подавать внешний ток, а минимально связать ваше калибровочное поле с данным полем материи, заменив $\partial_\mu\mapsto\partial_\mu + A_\mu$ (признаки и факторы $\mathrm{i}$ опущен) в лагранжиане для поля материи, а просто посмотреть, что получается в результате $j^\mu$ (тогда это также действительно сохраняющийся ток для глобальной версии калибровочной симметрии).

Тимей · Answer 3

Уравнения движения калибровочно инвариантны. Но люди скажут, что лагранжиан калибровочно-инвариантен, когда они подразумевают, что лагранжиан изменяется на полную производную (что заставляет уравнения движения быть одинаковыми).

Многие лагранжианы дают одни и те же уравнения движения. Добавьте константу. Умножьте на ненулевой скаляр. Добавьте функцию, являющуюся полной производной. Те же уравнения движения.

Но поскольку мы думаем обо всех этих лагранжианах как об одних и тех же лагранжианах ( поскольку они дают одни и те же уравнения движения), когда мы говорим, что лагранжиан калибровочно инвариантен, мы не имеем в виду , что это тот же самый лагранжиан, когда вы меняете калибровку. Мы имеем в виду , что когда вы меняете калибровку, вы получаете лагранжиан, отличающийся полной производной.

Конкретно в вашем случае при смене манометра электромагнитное поле $F$ не меняется, поэтому разница между двумя лагранжианами составляет всего лишь 4-токовый $J$ раз производная от $f$ а поскольку 4-ток удовлетворяет уравнению неразрывности, интегрирование по частям дает, что этот член равен полной производной.

Таким образом, ваш лагранжиан буквально изменяет функцию, когда вы меняете датчик. Оказывается, это тот, который отличается полной производной (и, следовательно, дает вам те же уравнения движения). И определяя фразу «калибровочная инвариантность лагранжиана» как означающую , что он изменяется на нечто, отличающееся полной производной, мы можем сказать, что лагранжиан калибровочно инвариантен (даже если он изменяется).

Он меняется на что-то достаточно близкое. Калибровочное преобразование не является симметрией лагранжиана, но вы можете говорить о квазисимметрии действия. Еще одна другая вещь. Вы можете увидеть этот пост об акции, предложенной ACuriousMind.

Действие и лагранжиан различны. У них даже единицы разные. А в связанном посте вы увидите, что квазисимметрия действия отличается граничным интегралом, а здесь мы говорим о лагранжианах, отличающихся полной производной. Но это та же проблема. Когда вы интегрируете лагранжиан, член полной производной в лагранжиане превращается в граничный интеграл действия.

Инвариантность уравнений движения — это понятие, отличное от инвариантности лагранжиана до полных производных, ср. этот ответ от Qmechanic . В частности, именно понятие лагранжевой (квази-)симметрии (используйте «квази», если вы хотите прояснить «с точностью до полной производной»), которое заставляет действовать законы сохранения в соответствии с теоремой Нётер, в то время как простая симметрия уравнений движения не.

Калибровочная инвариантность в классической электродинамике

Каймс

Мэн Ченг

Ответы (3)

Ян Лалински

Любопытный Разум

Каймс

Любопытный Разум

Тимей

Любопытный Разум

Калибровочная инвариантность лагранжиана Янга-Миллса

Лагранжиан Фаддеева-Попова

Какова точная связь между необратимой матрицей Гессе для лагранжиана и наличием калибровочной симметрии?

Есть ли хорошая идея, откуда берутся неабелевы калибровочные симметрии?

Напряженность поля обращается в нуль тогда и только тогда, когда AµAµA_{\mu} является чисто калибровочным

Обоснование Янга и Миллса (и других) локальной калибровочной инвариантности

Вызывает ли электромагнитное калибровочное преобразование U(1)U(1)U(1) преобразование поля?

Крепление датчика и уравнения движения

Можем ли мы использовать термин «калибровочная инвариантность U(1)» для свободного электромагнитного поля?

Ток Нётера для лагранжиана Янга-Миллса-Хиггса