Симметрия действия Полякова?

Ответ: Да, действие Полякова инвариантно относительно симметрии Киллинга в таргет-пространстве.

1. Советы: выполните бесконечно малую вариацию.

   $$\delta X^{\mu}~=~\varepsilon K^{\mu}(X) \tag{A}$$ в целевом пространстве вдоль векторного поля Киллинга . Здесь$\varepsilon$является бесконечно малым параметром.

2. Покажите, что индуцированная метрика

   $$(X^{\ast}G)_{ab}~:=~\partial_a X^{\mu} ~\partial_b X^{\nu}~ G_{\mu\nu}(X)\tag{B}$$ инвариантен относительно бесконечно малой вариации (A) $$\delta(X^{\ast}G)_{ab}~=~0.\tag{C}$$ Сделайте вывод, что действие Полякова также инвариантно.

3. Дальнейшие подсказки к ур. (С): Используйте это

   $$\partial_a \delta X^{\lambda} ~=~ \varepsilon\partial_a X^{\mu}~\partial_{\mu}K^{\lambda}, \qquad \delta G_{\mu\nu}~=~\varepsilon K^{\lambda}~\partial_{\lambda}G_{\mu\nu}.\tag{D}$$

4. Легче использовать определение производной Ли для векторного поля Киллинга.

   $$0~=~({\cal L}_K G)_{\mu\nu}~=~ K^{\lambda}~\partial_{\lambda}G_{\mu\nu} + \partial_{\mu}K^{\lambda}~G_{\lambda\nu}+G_{\mu\lambda}~\partial_{\nu}K^{\lambda} \tag{E}$$ а не эквивалентное уравнение. (2).

Векторные поля Киллинга соответствуют генераторам бесконечно малых изометрий пространственно-временного многообразия, и любое физическое действие, в том числе и действие Полякова, должно сохраняться под ним. На самом деле любое физическое действие должно быть инвариантным относительно (бесконечно) большей группы диффеоморфизмов многообразия. Преобразования изомтрии - это просто конечное подмножество этих диффеоморфизмов.