Интеграл плотности состояний (DOS) при незамкнутой поверхности

Согласно формуле плотности состояний (DOS)

$$\rho(\varepsilon)\propto \int_{\varepsilon=\text{const}}\frac{dS}{|\nabla_k \varepsilon_k|}.$$

Поскольку в формуле DOS есть интеграл на поверхности постоянной энергии, что, если поверхность постоянной энергии не замкнута и, следовательно, бесконечна? Например, в 2D

$$\varepsilon_k=v_xk_x+v_yk_y \, .$$ Изоэнергетическая поверхность будет плоской, расширенной до бесконечности и, таким образом, плохо определенной в интеграле$\int dS$. Интеграл DOS расходится и не дает конечного результата.

Кто-то может возразить, что этот тип гамильтониана должен исходить из эффективной теории, которая справедлива только для низких энергий и, таким образом, имеет допустимую область, за пределами которой дисперсионное соотношение не работает. Хорошо, если меня интересует только дивергентное поведение и я не хочу идти дальше к «настоящей» дисперсии, которой трудно манипулировать (возможно, вообще без аналитического выражения). Могу ли я получить расходящуюся информацию только из линейной дисперсии? Должен ли я дать$k$регион отрезать, а потом вычислить?