Плотность состояний свободного электрона в зоне проводимости

Ваш вопрос можно свести к следующему: как изменяется мгновенное значение функции$f(x)$относительно среднего значения этой функции из$x_o$к$x$? В случае статистики Ферми в 1, 2 и 3 измерениях мы знаем среднее значение точно путем проверки. В этой формулировке среднее значение функции на интервале равно:

$$\begin{equation} \overline{f(x)} = \frac{\int{f(x)dx}}{(x-x_0)} \end{equation}$$

Таким образом, отношение мгновенного значения к среднему значению равно:

$$\begin{equation} \frac{f(x)}{\overline{f(x)}} = \frac{(x-x_0)f(x)}{\int_{x_0}^x {f(x)dx}} \end{equation}$$

Если вы проработаете это с помощью трех функциональных форм плотности состояний для 1, 2 и 3 измерений:

$$\begin{equation} f(x) = (x-x_0)^{1/2}, f(x) = const, f(x) = (x-x_0)^{-1/2} \end{equation}$$

вы увидите, что факторы$3/2$,$1$и$1/2$исходят из интеграла. Все остальное уравновешивается, так что отношение всегда является просто числом, зависящим от формы функции. Чтобы увидеть, как это связано со статистикой Ферми и идеями Киттеля... продолжайте читать.

Энергия Ферми — это энергия, ниже которой все состояния заполнены при 0 К. Это означает, что ниже равное количество состояний и электронов.$\begin{equation} \epsilon_F \end{equation}$и, следовательно, вы ожидаете, что «средняя» плотность состояний до энергии Ферми будет около$\begin{equation} \frac{ N }{\epsilon_F} \end{equation}$, один электрон на орбиталь. Это также была бы плотность состояний при энергии Ферми, если бы плотность состояний была постоянной с энергией ... но в 3D это не так, она увеличивается с энергией как$\begin{equation} \epsilon^{1/2} \end{equation}$поэтому вы ожидаете, что плотность состояний будет выше средней при самой высокой заполненной энергии,$\begin{equation} \epsilon_F \end{equation}$, поэтому множитель перед$\frac{N}{\epsilon}$должно быть больше 1. Вам нужно пройти математику выше, чтобы увидеть, что это 3/2.

Порядок плотности состояний равен$\begin{equation} \epsilon^{1/2} \end{equation}$, N также является функцией энергии в 3D.

В 2D плотность состояний постоянна с энергией. Чтобы увидеть это, сначала обратите внимание, что изокванты энергии в k-пространстве представляют собой круги. Допустимые состояния — это дискретные точки в k-пространстве. Энергия состояний на окружности увеличивается пропорционально квадрату радиуса,$k^2$. Для изменения энергии$\begin{equation} \Delta \epsilon \propto 2k \Delta k\end{equation}$площадь круга увеличивается по мере$\begin{equation} 2\pi k \Delta k \propto \Delta \epsilon \end{equation}$. Количество состояний в этом кольцевом кольце пропорционально этой площади, одна единица площади для каждого действительного k-вектора, поэтому плотность состояний$\begin{equation} \frac{dN }{d\epsilon} \end{equation}$постоянна . _ Таким образом, в этом случае вы ожидаете, что плотность состояний будет средней плотностью при любой энергии.$\begin{equation} \frac{N }{\epsilon} \end{equation}$. В этом случае числовая константа ясна, плотность состояний одинакова при любой энергии, поэтому количество электронов должно точно равняться количеству состояний до этой энергии... математика не требуется!

Аргумент в пользу 1D аналогичен аргументу в пользу 3D, за исключением того, что в этом случае плотность состояний уменьшается с увеличением энергии. Изокванты постоянной энергии в k-пространстве в 1D — это просто точки на прямой на расстоянии k от начала координат. Перемещение на одну точку наружу от начала координат увеличивает количество состояний на единицу и увеличивает энергию состояния на постоянное приращение.$\begin{equation} \Delta \epsilon \propto 2k \Delta k\end{equation}$.

$$\begin{equation} \frac{dN }{d\epsilon} =\frac{\Delta N }{\Delta k}\frac{\Delta k }{\Delta \epsilon} \propto 1 \cdot \frac{1}{k} \propto \epsilon^{-\frac{1}{2}}\end{equation}$$

Теперь мы ожидаем, что плотность состояний будет меньше средней плотности при любой энергии.$\epsilon$поэтому фактор перед$\frac{N}{\epsilon}$должно быть меньше 1.