Производное взаимодействие: Hint≠−LintHint≠−Lint\mathcal{H}_\mathrm{int}\neq - \mathcal{L}_\mathrm{int}. Вопрос о правилах Фейнмана

Question

Производное взаимодействие: Hint≠−LintHint≠−Lint\mathcal{H}_\mathrm{int}\neq - \mathcal{L}_\mathrm{int}. Вопрос о правилах Фейнмана

Физика
калибровочная теория
квантование
интеграл по путям
Лоренц-симметрия
квантовая теория поля

пользователь153663

Как известно, при наличии взаимодействия производных по времени в $\mathcal L_\mathrm{int}$ , затем $\mathcal{H}_\mathrm{int}\neq -\mathcal{L}_\mathrm{int}$ . Например, скалярная КЭД,

\begin{aligned} л_{я н т} & "=" - я е ф^{†} (\partial_{мю} ф) А^{мю} + я е (\partial_{мю} ф^{†}) ф А^{мю} + е^{2} ф^{†} ф А_{мю} А^{мю}, \\ {ЧАС}_{я н т} & "=" - л_{я н т} - е^{2} ф^{†} ф (А^{0})^{2} . \end{aligned}

$\begin{aligned} \mathcal{L}_\mathrm{int}&= -ie \phi^\dagger(\partial_\mu \phi) A^\mu+ie(\partial_\mu \phi^\dagger) \phi A^\mu +e^2\phi^\dagger \phi A_\mu A^\mu, \\ \mathcal{H}_\mathrm{int}&=-\mathcal{L}_\mathrm{int} -e^2 \phi^\dagger\phi (A^0)^2. \end{aligned}$ Существует последний член, нарушающий лоренц-инвариантность.

Вывод:

\begin{array}{rcl} л & "=" & (\partial_{мю} + я е А_{мю}) ф (\partial^{мю} - я е А^{мю}) ф^{†} - м^{2} ф^{†} ф \\ "=" & л_{0}^{К г} + л_{я н т}, \end{array}

$\begin{eqnarray} \mathcal{L}&=&(\partial_\mu+i e A_\mu)\phi (\partial^\mu-i e A^\mu)\phi^\dagger-m^2\phi^\dagger \phi\\ &=&\mathcal{L}_0^\mathrm{KG}+\mathcal{L}_\mathrm{int}, \end{eqnarray}$ где

л_{0}^{К г} "=" \partial_{мю} ф \partial^{мю} ф^{†} - м^{2} ф^{†} ф,

$\mathcal{L}_0^\mathrm{KG}=\partial_\mu\phi \partial^\mu\phi^\dagger-m^2\phi^\dagger \phi,$

л_{я н т} "=" - я е ф^{†} (\partial_{мю} ф) А^{мю} + я е (\partial_{мю} ф^{†}) ф А^{мю} + е^{2} ф^{†} ф А_{мю} А^{мю},

$\mathcal{L}_\mathrm{int}= -ie \phi^\dagger(\partial_\mu \phi) A^\mu+ie(\partial_\mu \phi^\dagger) \phi A^\mu +e^2\phi^\dagger \phi A_\mu A^\mu,$

π "=" \frac{\partial л}{\partial (\partial_{0} ф)} "=" \partial^{0} ф^{†} - я е А^{0} ф^{†},

$\pi=\frac{\partial \mathcal{ L}}{\partial(\partial_0 \phi)}=\partial^0\phi^\dagger-i e A^0 \phi^\dagger,$

π^{†} "=" \frac{\partial л}{\partial (\partial_{0} ф^{†})} "=" \partial^{0} ф + я е А^{0} ф,

$\pi^\dagger=\frac{\partial \mathcal{ L}}{\partial(\partial_0 \phi^\dagger)}=\partial^0\phi+i e A^0 \phi,$

\begin{array}{rcl} ЧАС & "=" & π \dot{ф} + π^{†} {\dot{ф}}^{†} - л \\ "=" & π \dot{ф} + π^{†} {\dot{ф}}^{†} - ({\dot{ф}}^{†} \dot{ф} - \nabla ф^{†} \cdot \nabla ф - м^{2} ф^{†} ф) - л_{я н т} \\ "=" & π (π^{†} - я е А^{0} ф) + π^{†} (π + я е А^{0} ф^{†}) - ((π^{†} - я е А^{0} ф) (π + я е А^{0} ф^{†}) \\ - \nabla ф^{†} \cdot \nabla ф - м^{2} ф^{†} ф) - л_{я н т} \\ "=" & (π^{†} π + \nabla ф^{†} \cdot \nabla ф + м^{2} ф^{†} ф) - л_{я н т} - е^{2} ф^{†} ф (А^{0})^{2} \\ "=" & {ЧАС}_{0}^{К г} + {ЧАС}_{я н т} . \end{array}

$\begin{eqnarray} \mathcal{H}&=&\pi \dot\phi+\pi^\dagger \dot\phi^\dagger-\mathcal{L} \\ &=&\pi \dot\phi+\pi^\dagger \dot\phi^\dagger-(\dot\phi^\dagger\dot\phi-\nabla\phi^\dagger \cdot\nabla\phi-m^2 \phi^\dagger\phi)-\mathcal{L}_\mathrm{int} \\ &=&\pi(\pi^\dagger-ieA^0\phi)+\pi^\dagger (\pi +ieA^0\phi^\dagger)-((\pi^\dagger-ieA^0\phi)(\pi +ieA^0\phi^\dagger) \\ &&-\nabla\phi^\dagger \cdot\nabla\phi-m^2 \phi^\dagger\phi)-\mathcal{L}_\mathrm{int}\\ &=&(\pi^\dagger \pi + \nabla\phi^\dagger \cdot\nabla\phi+m^2 \phi^\dagger\phi)-\mathcal{L}_\mathrm{int} -e^2 \phi^\dagger\phi (A^0)^2 \\ &=&\mathcal{H}_0^\mathrm{KG}+\mathcal{H}_\mathrm{int}. \end{eqnarray}$

Мои вопросы:

Правила Фейнмана для скалярной КЭД здесь . Но мы видим, что в гамитониане взаимодействия есть дополнительный член $-e^2 \phi^\dagger\phi (A^0)^2$ , согласно теореме Вика, это должно иметь некоторый вклад в правило Фейнмана, которого нет в этом учебнике. Я вычислил эту вершину и обнаружил, что она отлична от нуля. Почему нет правил Фейнмана для такого срока, нарушающего Лоренца?
Как известно, для квантования интеграла по путям интеграл по путям в координатном пространстве:
$Z_{1} "=" \int Д д опыт (\int г т л (д, \dot{д})) .$ $Z_1= \int D q\ \exp\left(\int dt\ L(q,\dot q) \right).$ И интеграл по фазовому пространству: $Z_{2} "=" \int Д п Д д опыт (\int г т п \dot{д} - ЧАС (п, д)) .$ $Z_2= \int D p\, D q\ \exp\left(\int dt\ p\dot q -H(p,q) \right).$ Только для этого типа лагранжиана $L=\dot q^2-V(p)$ , затем $Z_1=Z_2$ . ( Правила Фейнмана для скалярной КЭД в учебнике такие же, как и то, что получено с помощью интеграла по путям в координатном пространстве.) Я считаю, что второй метод квантования интеграла по путям всегда эквивалентен каноническому квантованию. Итак, для скалярной КЭД эти два вида квантования интеграла по путям одинаковы? Как доказать?
Для неабелевой калибровочной теории производное взаимодействие существует даже в самом калибровочном поле. Кажется, во всех учебниках используется $Z_1$ чтобы получить правила Фейнмана. Являются ли эти два вида квантования интеграла по путям одинаковыми в неабелевом калибровочном поле? Если не то же самое, почему мы выбираем интеграл по путям в координатном пространстве? Это аксиома, потому что совпадает с экспериментом?

Ответы (2)

Производное взаимодействие: Hint≠−LintHint≠−Lint\mathcal{H}_\mathrm{int}\neq - \mathcal{L}_\mathrm{int}. Вопрос о правилах Фейнмана

СлучайныйПреобразование Фурье · Answer 1

Некоторые общие замечания:

В операторном формализме нековариантный дополнительный член в гамильтониане сокращается нековариантным членом, происходящим от наивного символа временного порядка:
$Т \sim Т_{с о в} - е^{2} ф^{2} А_{0}^{2}$ $\mathrm T\sim\mathrm T_\mathrm{cov}-e^2\phi^2A^2_0$

Вы можете найти подробности в ссылке 1, раздел 6-1-4.

С другой стороны, случай формализма интеграла по траекториям рассматривается в пункте 2 ниже.
Формальная эквивалентность $Z_1=Z_2$ может быть доказано для любого гамильтониана вида
$ЧАС \sim А^{я Дж} π_{я} π_{Дж} + Б^{я} (ф) π_{я} + С (ф)$ $H\sim A^{ij}\pi_i\pi_j+B^i(\phi)\pi_i+C(\phi)$ примером которого является ваш гамильтониан. Доказательство и соответствующее обсуждение см. в ссылке 2, том 1, раздел 9.3.
Обсуждение интегрального квантования неабелевых калибровочных теорий см. в ссылке 2, том 2, главы 15.4—15.8. Ref.1, глава 12-2 также стоит прочитать. Суммируя, " $Z_1=Z_2$ " вплоть до тонкостей, вносимых калибровочной инвариантностью.

Рекомендации

[1] Ициксон и Зубер, Квантовая теория поля.

[2] Вайнберг, Квантовая теория поля.

Не могли бы вы немного подробнее рассказать о первом вашем пункте? Чем обусловлен выбор таких $\text{T}$ ?
Привет @SolenodonParadoxus Я думаю, что первый пункт очень хорошо объяснен в ссылке [1], поэтому было бы бесполезно обобщать его здесь. Существенным моментом является то, что $\mathrm T(\partial_\mu\phi\partial_\nu\phi)=\partial_\mu\partial_\nu\mathrm T(\phi\phi)+\delta_\mu^0\delta_\nu^0\delta(t-t')$ , который не является ковариантным. Мы определяем $\mathrm T_\mathrm{cov}$ такой, что $\mathrm T_\mathrm{cov}(\partial_\mu\phi\partial_\nu\phi)=\partial_\mu\partial_\nu\mathrm T_\mathrm{cov}(\phi\phi)$ , который теперь является ковариантным. Дополнительный срок $\delta_\mu^0\delta_\nu^0\delta(t-t')$ отменяет нековарантный член в H_int

Qмеханик · Answer 2

AccidentalFourierTransform уже дал хороший ответ. Здесь мы предоставим более подробную информацию и обоснования для класса некалибровочных производных взаимодействий.

Начнем с лагранжевого действия,
$\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} С [Вопрос] "=" & \int_{т_{я}}^{т_{ф}} г т л "=" С_{0} [Вопрос] + С_{я н т} [Вопрос], \\ л "=" & л_{0} (Вопрос, \dot{Вопрос}) + л_{я н т} (Вопрос, \dot{Вопрос}), \\ С_{0} [Вопрос] "=" & \int_{т_{я}}^{т_{ф}} г т л_{0} (Вопрос, \dot{Вопрос}), \\ л_{0} (Вопрос, \dot{Вопрос}) "=" & \frac{1}{2} {\dot{Вопрос}}^{2} "=" \frac{1}{2} {\dot{Вопрос}}^{я} г_{я Дж} {\dot{Вопрос}}^{Дж}, \\ С_{я н т} [Вопрос] "=" & \int_{т_{я}}^{т_{ф}} г т л_{я н т} (Вопрос, \dot{Вопрос}), \\ л_{я н т} (Вопрос, \dot{Вопрос}) "=" & А_{я} {\dot{Вопрос}}^{я} - В, \\ г_{я Дж} "=" & г_{я Дж} (Вопрос), А_{я} "=" А_{я} (Вопрос), В "=" В (Вопрос), \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} S[Q]~=~&\int_{t_i}^{t_f}\! dt~ L~=~S_0[Q]+S_{\rm int}[Q], \cr L~=~& L_0(Q,\dot{Q})+L_{\rm int}(Q,\dot{Q}),\cr S_0[Q]~=~&\int_{t_i}^{t_f}\! dt~ L_0(Q,\dot{Q}), \cr L_0(Q,\dot{Q})~=~&\frac{1}{2}\dot{Q}^2~=~\frac{1}{2} \dot{Q}^i G_{ij} \dot{Q}^j,\cr S_{\rm int}[Q]~=~&\int_{t_i}^{t_f}\! dt~ L_{\rm int}(Q,\dot{Q}), \cr L_{\rm int}(Q,\dot{Q})~=~&A_i\dot{Q}^i - V, \cr G_{ij}~=~&G_{ij}(Q), \qquad A_i~=~A_i(Q), \qquad V~=~V(Q), \end{align} \tag{1}$ который квадратичен по скоростям. Будем считать, что лагранжево действие (1) явно лоренцево ковариантно. [Мы используем сокращенную запись ДеВитта $^1$ чтобы подавить пространственные (но не временные) измерения, которые могут на первый взгляд скрыть явную лоренцеву ковариацию. Так, например, $\frac{1}{2}\dot{Q}^2$ срок в $L_0$ неявно сопровождается $\frac{1}{2}(\nabla Q)^2$ срок в $V$ , и так далее. Исходные термины $J_iQ^i$ также предполагается, что они находятся внутри $V$ .]
Канонический импульс читается
$\begin{matrix} (2) & п_{я} "=" г_{я Дж} {\dot{Вопрос}}^{Дж} + А_{я} . \end{matrix}$ $P_i~=~G_{ij}\dot{Q}^j+A_i.\tag{2}$ Подчеркнем, что соответствующее гамильтоново действие также является лоренц-ковариантным, $\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} С_{ЧАС} [Вопрос, п] "=" & \int_{т_{я}}^{т_{ф}} г т л_{ЧАС} "=" С_{ЧАС, 0} [Вопрос, п] + С_{ЧАС, я н т} [Вопрос, п], \\ л_{ЧАС} "=" & п_{я} {\dot{Вопрос}}^{я} - ЧАС (Вопрос, п), \\ ЧАС (Вопрос, п) "=" & {ЧАС}_{0} (Вопрос, п) + {ЧАС}_{я н т} (Вопрос, п), \\ С_{ЧАС, 0} [Вопрос, п] "=" & \int_{т_{я}}^{т_{ф}} г т л_{ЧАС, 0}, \\ л_{ЧАС, 0} "=" & п_{я} {\dot{Вопрос}}^{я} - {ЧАС}_{0} (Вопрос, п), \\ {ЧАС}_{0} (Вопрос, п) "=" & \frac{1}{2} п^{2} "=" \frac{1}{2} п_{я} г^{я Дж} п_{Дж}, \\ С_{ЧАС, я н т} [Вопрос, п] "=" & - \int_{т_{я}}^{т_{ф}} г т {ЧАС}_{я н т} (Вопрос, п), \\ {ЧАС}_{я н т} (Вопрос, п) "=" & - А^{я} п_{я} + \frac{1}{2} А^{2} + В, \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} S_H[Q,P]~=~&\int_{t_i}^{t_f}\! dt~ L_H~=~S_{H,0}[Q,P]+S_{H,{\rm int}}[Q,P], \cr L_H~=~&P_i \dot{Q}^i-H(Q,P), \cr H(Q,P)~=~&H_0(Q,P)+H_{\rm int}(Q,P), \cr S_{H,0}[Q,P]~=~&\int_{t_i}^{t_f}\! dt~ L_{H,0}, \cr L_{H,0} ~=~&P_i \dot{Q}^i-H_0(Q,P), \cr H_0(Q,P)~=~&\frac{1}{2}P^2~=~\frac{1}{2}P_i G^{ij}P_j,\cr S_{H,{\rm int}}[Q,P] ~=~&-\int_{t_i}^{t_f}\! dt~H_{\rm int}(Q,P), \cr H_{\rm int}(Q,P)~=~& -A^iP_i + \color{red}{\frac{1}{2} A^2}+V,\end{align}\tag{3}$ несмотря на нековариантный член $A^2:=A_iG^{ij}A_j$ отмечены красным в ур. (3). Мы не вставляли это вручную. На самом деле это происходит от правильного преобразования Лежандра .

Отметим (для более позднего поучительного сравнения с уравнением (6) ниже), что
$\begin{matrix} (4) & л_{я н т} (Вопрос, \dot{Вопрос}) + {ЧАС}_{я н т} (Вопрос, п) \overset{(1) + (2) + (3)}{"="} - \frac{1}{2} А^{2} (Вопрос), \end{matrix}$ $L_{\rm int}(Q,\dot{Q})+H_{\rm int}(Q,P) ~\stackrel{(1)+(2)+(3)}{=}~ - \color{red}{\frac{1}{2} A^2(Q)},\tag{4}$ хотя экв. (4) в дальнейшем использоваться не будет. уравнение (4) соответствует второй формуле ОП.
До сих пор мы обсуждали только классическую теорию. В соответствующей квантово-механической операторной формулировке операторы $\hat{Q}^i$ и $\hat{P}_j$ изображены на картинке Гейзенберга .
Далее рассмотрим картину взаимодействия . Здесь скорость и импульс связаны через
$\begin{matrix} (5) & {\dot{д}}^{я} "=" \frac{\partial {ЧАС}_{0} (д, п)}{\partial п_{я}} "=" г^{я Дж} п_{Дж}, \end{matrix}$ $\dot{q}^i~=~\frac{\partial H_0(q,p)}{\partial p_i}~=~G^{ij}p_j,\tag{5}$ которое следует сравнить с соответствующим соотношением (2) в картине Гейзенберга. уравнение (5) имеет два следствия.

Во-первых, мы получаем несколько неожиданное соотношение
$\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} л_{я н т} (д, \dot{д}) + {ЧАС}_{я н т} (д, п) \overset{(5)}{"="} & л_{я н т} (д, \dot{д}) + {ЧАС}_{я н т} (д, г \dot{д}) \\ \overset{(1) + (3)}{"="} & + \frac{1}{2} А^{2} (д), \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} L_{\rm int}(q,\dot{q})+H_{\rm int}(q,p) ~\stackrel{(5)}{=}~&L_{\rm int}(q,\dot{q})+H_{\rm int}(q,G\dot{q})\cr ~\stackrel{(1)+(3)}{=}&+\color{red}{\frac{1}{2} A^2(q)},\end{align}\tag{6}$ которое имеет противоположный знак уравнения. (4)! Этот признак ур. (6) будет важно в дальнейшем.

Во-вторых, экв. (5) следует равновременная CCR
$\begin{matrix} (7) & \begin{aligned} [{\hat{д}}^{я} (т), {\dot{\hat{д}}}^{Дж} (т)] \overset{(5)}{"="} & я ℏ г^{я Дж} 1, \\ [{\hat{д}}^{я} (т), {\hat{д}}^{Дж} (т)] "=" & 0. \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} [\hat{q}^i(t),\dot{\hat{q}}^j(t)] ~\stackrel{(5)}{=}~&i\hbar~ G^{ij} {\bf 1},\cr [\hat{q}^i(t),\hat{q}^j(t)]~=~&0. \end{align} \tag{7}$ Мы получаем, что ковариантный временной порядок $\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} Т_{с о в} {{\hat{д}}^{я} (т_{1}) {\hat{д}}^{Дж} (т_{2})} \equiv & Т {{\hat{д}}^{я} (т_{1}) {\hat{д}}^{Дж} (т_{2})}, \\ Т_{с о в} {{\hat{д}}^{я} (т_{1}) {\dot{\hat{д}}}^{Дж} (т_{2})} \equiv & \frac{г}{г т_{2}} Т {{\hat{д}}^{я} (т_{1}) {\hat{д}}^{Дж} (т_{2})} \\ "=" & \frac{г}{г т_{2}} {θ (т_{1} - т_{2}) {\hat{д}}^{я} (т_{1}) {\hat{д}}^{Дж} (т_{2}) + θ (т_{2} - т_{1}) {\hat{д}}^{Дж} (т_{2}) {\hat{д}}^{я} (т_{1})} \\ "=" & Т {{\hat{д}}^{я} (т_{1}) {\dot{\hat{д}}}^{Дж} (т_{2})} - дельта (т_{1} - т_{2}) [{\hat{д}}^{я} (т_{1}), {\hat{д}}^{Дж} (т_{2})] \\ \overset{(7)}{"="} & Т {{\hat{д}}^{я} (т_{1}) {\dot{\hat{д}}}^{Дж} (т_{2})}, \\ Т_{с о в} {{\dot{\hat{д}}}^{я} (т_{1}) {\dot{\hat{д}}}^{Дж} (т_{2})} \equiv & \frac{г}{г т_{1}} \frac{г}{г т_{2}} Т {{\hat{д}}^{я} (т_{1}) {\hat{д}}^{Дж} (т_{2})} \\ "=" & \frac{г}{г т_{1}} Т {{\hat{д}}^{я} (т_{1}) {\dot{\hat{д}}}^{Дж} (т_{2})} \\ "=" & \frac{г}{г т_{1}} {θ (т_{1} - т_{2}) {\hat{д}}^{я} (т_{1}) {\dot{\hat{д}}}^{Дж} (т_{2}) + θ (т_{2} - т_{1}) {\dot{\hat{д}}}^{Дж} (т_{2}) {\hat{д}}^{я} (т_{1})} \\ \overset{(7)}{"="} & Т {{\dot{\hat{д}}}^{я} (т_{1}) {\dot{\hat{д}}}^{Дж} (т_{2})} + я ℏ г^{я Дж} 1 дельта (т_{1} - т_{2}) . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} T_{\rm cov}\{\hat{q}^i(t_1)\hat{q}^j(t_2)\} ~\equiv~& T\{\hat{q}^i(t_1)\hat{q}^j(t_2)\},\cr T_{\rm cov}\{\hat{q}^i(t_1)\dot{\hat{q}}^j(t_2)\} ~\equiv~&\frac{d}{dt_2} T\{\hat{q}^i(t_1)\hat{q}^j(t_2)\}\cr ~=~&\frac{d}{dt_2}\left\{\theta(t_1\!-\!t_2)\hat{q}^i(t_1)\hat{q}^j(t_2)+ \theta(t_2\!-\!t_1)\hat{q}^j(t_2)\hat{q}^i(t_1)\right\}\cr ~=~&T \{\hat{q}^i(t_1)\dot{\hat{q}}^j(t_2)\} -\delta(t_1\!-\!t_2)[\hat{q}^i(t_1),\hat{q}^j(t_2)]\cr ~\stackrel{(7)}{=}~&T \{\hat{q}^i(t_1)\dot{\hat{q}}^j(t_2)\},\cr T_{\rm cov} \{\dot{\hat{q}}^i(t_1)\dot{\hat{q}}^j(t_2)\} ~\equiv~&\frac{d}{dt_1}\frac{d}{dt_2} T \{\hat{q}^i(t_1)\hat{q}^j(t_2)\}\cr ~=~&\frac{d}{dt_1}T \{\hat{q}^i(t_1)\dot{\hat{q}}^j(t_2)\}\cr ~=~&\frac{d}{dt_1}\left\{\theta(t_1\!-\!t_2)\hat{q}^i(t_1)\dot{\hat{q}}^j(t_2)+ \theta(t_2\!-\!t_1)\dot{\hat{q}}^j(t_2)\hat{q}^i(t_1) \right\} \cr ~\stackrel{(7)}{=}~&T \{\dot{\hat{q}}^i(t_1)\dot{\hat{q}}^j(t_2)\} ~+~\color{red}{i\hbar~ G^{ij} {\bf 1} \delta(t_1\!-\!t_2)}. \end{align}\tag{8}$ Мы отметили нековариантный член красным цветом.
Рассмотрим следующую линию Уилсона
$\begin{matrix} (9) & опыт {\frac{я}{ℏ} \int г т А_{я} (д) {\dot{д}}^{я}} . \end{matrix}$ $\exp\left\{ \frac{i}{\hbar}\int\!dt~ A_i(q)\dot{q}^i \right\}. \tag{9}$ Из теоремы Вика , ур. (8) возводится в степень $\begin{matrix} (10) & \begin{aligned} Т_{с о в} опыт & {\frac{я}{ℏ} \int г т А_{я} (\hat{д}) {\dot{\hat{д}}}^{я}} \\ \overset{(8)}{"="} & опыт {\frac{я ℏ}{2} \iint г т_{1} г т_{2} г^{я Дж} \frac{дельта}{дельта {\dot{\hat{д}}}^{я} (т_{1})} \frac{дельта}{дельта {\dot{\hat{д}}}^{Дж} (т_{2})}} \\ Т опыт {\frac{я}{ℏ} \int г т А_{я} (\hat{д}) {\dot{\hat{д}}}^{я}} \\ "=" & Т опыт {\frac{я}{ℏ} \int г т (А_{я} (\hat{д}) {\dot{\hat{д}}}^{я} - \frac{1}{2} А^{2} (\hat{д}))} . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} T_{\rm cov}\exp & \left\{ \frac{i}{\hbar}\int\!dt~ A_i(\hat{q})\dot{\hat{q}}^i \right\}\cr ~\stackrel{(8)}{=}~&\exp\left\{ \color{red}{ \frac{i\hbar}{2} \iint dt_1 ~dt_2~G^{ij} \frac{\delta}{\delta \dot{\hat{q}}^i(t_1)} \frac{\delta}{\delta \dot{\hat{q}}^j(t_2)} }\right\}\cr &\qquad T\exp\left\{ \frac{i}{\hbar}\int\!dt~ A_i(\hat{q})\dot{\hat{q}}^i \right\}\cr ~=~&T\exp\left\{ \frac{i}{\hbar}\int\!dt\left( A_i(\hat{q})\dot{\hat{q}}^i -\color{red}{\frac{1}{2} A^2(\hat{q})} \right)\right\} .\end{align} \tag{10}$
Стандартный вывод $^2$ интеграла по траекториям гамильтонова фазового пространства / статистической суммы из операторного формализма в картине Гейзенберга выглядит следующим образом
$\begin{matrix} (11) & \begin{aligned} Z_{ЧАС} \sim & _{ЧАС} ⟨ {Вопрос}_{ф}, т_{ф} | {Вопрос}_{я}, т_{я} ⟩_{ЧАС} \\ "=" & _{ЧАС} ⟨ {Вопрос}_{ф}, 0 | Т_{с о в} опыт {- \frac{я}{ℏ} \int_{т_{я}}^{т_{ф}} г т ЧАС (\hat{Вопрос}, \hat{п})} | {Вопрос}_{я}, 0 ⟩_{ЧАС} \\ "=" & _{ЧАС} ⟨ {Вопрос}_{ф}, 0 | Т опыт {- \frac{я}{ℏ} \int_{т_{я}}^{т_{ф}} г т ЧАС (\hat{Вопрос}, \hat{п})} | {Вопрос}_{я}, 0 ⟩_{ЧАС} \\ "=" & \int_{Вопрос (т_{я}) "=" {Вопрос}_{я}}^{Вопрос (т_{ф}) "=" {Вопрос}_{ф}} Д Вопрос Д п опыт {\frac{я}{ℏ} С_{ЧАС} [Вопрос, п]} \\ \overset{Гаусс. внутр.}{\sim} & \int_{Вопрос (т_{я}) "=" {Вопрос}_{я}}^{Вопрос (т_{ф}) "=" {Вопрос}_{ф}} Д Вопрос Д е т (г_{я Дж})^{1 / 2} опыт {\frac{я}{ℏ} С [Вопрос]} . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} Z_H~\sim~~~&{}_H\langle Q_f,t_f |Q_i,t_i\rangle_H \cr ~=~~~&{}_H\langle Q_f,0| T_{\rm cov} \exp\left\{ - \frac{i}{\hbar}\int_{t_i}^{t_f}\!dt~ H(\hat{Q},\hat{P})\right\} |Q_i,0\rangle_H \cr ~=~~~&{}_H\langle Q_f,0| T \exp\left\{ - \frac{i}{\hbar}\int_{t_i}^{t_f}\!dt~ H(\hat{Q},\hat{P})\right\} |Q_i,0\rangle_H \cr ~=~~~&\int_{Q(t_i)=Q_i}^{Q(t_f)=Q_f}\! {\cal D}Q~{\cal D}P~\exp\left\{ \frac{i}{\hbar}S_H[Q,P]\right\}\cr \stackrel{\text{Gauss. int.}}{\sim}&\int_{Q(t_i)=Q_i}^{Q(t_f)=Q_f}\! {\cal D}Q~ {\rm Det}(G_{ij})^{1/2} \exp\left\{ \frac{i}{\hbar} S[Q]\right\} . \end{align} \tag{11}$
На картинке взаимодействия имеем $^3$
$\begin{matrix} (12) & \begin{aligned} Z_{ЧАС} \sim & _{ЧАС} ⟨ д_{ф}, 0 | Т_{с о в} опыт {- \frac{я}{ℏ} \int г т {ЧАС}_{я н т} (\hat{д}, \hat{п})} | д_{я}, 0 ⟩_{ЧАС} \\ "=" & _{ЧАС} ⟨ д_{ф}, 0 | Т опыт {- \frac{я}{ℏ} \int г т {ЧАС}_{я н т} (\hat{д}, \hat{п})} | д_{я}, 0 ⟩_{ЧАС} \\ \overset{(5)}{"="} & _{ЧАС} ⟨ д_{ф}, 0 | Т опыт {- \frac{я}{ℏ} \int г т {ЧАС}_{я н т} (\hat{д}, г \dot{\hat{д}})} | д_{я}, 0 ⟩_{ЧАС} \\ \overset{(6)}{"="} & _{ЧАС} ⟨ д_{ф}, 0 | Т опыт {\frac{я}{ℏ} \int г т (л_{я н т} (\hat{д}, \dot{\hat{д}}) - \frac{1}{2} А^{2} (\hat{д}))} | д_{я}, 0 ⟩_{ЧАС} \\ \overset{(10)}{"="} & _{ЧАС} ⟨ д_{ф}, 0 | Т_{с о в} опыт {\frac{я}{ℏ} \int г т л_{я н т} (\hat{д}, \dot{\hat{д}})} | д_{я}, 0 ⟩_{ЧАС} . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} Z_H~\sim~& {}_H\langle q_f,0| T_{\rm cov} \exp\left\{ - \frac{i}{\hbar}\int\!dt~ H_{\rm int}(\hat{q},\hat{p})\right\}|q_i,0\rangle_H \cr ~=~&{}_H\langle q_f,0| T \exp\left\{ - \frac{i}{\hbar}\int\!dt~ H_{\rm int}(\hat{q},\hat{p})\right\}|q_i,0\rangle_H \cr ~\stackrel{(5)}{=}~&{}_H\langle q_f,0| T \exp\left\{ - \frac{i}{\hbar}\int\!dt~ H_{\rm int}(\hat{q},G\dot{\hat{q}})\right\}|q_i,0\rangle_H \cr ~\stackrel{(6)}{=}~&{}_H\langle q_f,0| T \exp\left\{ \frac{i}{\hbar}\int\!dt\left( L_{\rm int}(\hat{q},\dot{\hat{q}})-\color{red}{\frac{1}{2} A^2(\hat{q})} \right)\right\}|q_i,0\rangle_H \cr ~\stackrel{(10)}{=}~&{}_H\langle q_f,0| T_{\rm cov} \exp\left\{ \frac{i}{\hbar}\int\!dt~ L_{\rm int}(\hat{q},\dot{\hat{q}})\right\}|q_i,0\rangle_H .\end{align}\tag{12}$ Мы находим, что два эффекта компенсируют друг друга, нековариантный член в гамильтониане взаимодействия (6) и теорему Вика (10), так что статистическая сумма (12) является лоренц-ковариантной. Это основной ответ на вопрос ОП.
Мы предлагаем для полноты картины взаимодействия интеграл по фазовому пространству
$\begin{matrix} (13) & \begin{aligned} Z_{ЧАС} \overset{(12)}{\sim} & \int_{д (т_{я}) "=" д_{я}}^{д (т_{ф}) "=" д_{ф}} Д д Д п \\ опыт {\frac{я}{ℏ} С_{ЧАС, 0} [д, п] + \frac{я}{ℏ} \int_{т_{я}}^{т_{ф}} г т (- \frac{1}{2} {\dot{д}}^{2} + л_{я н т} (\hat{д}, \dot{\hat{д}}))} \\ \overset{Гаусс. внутр.}{\sim} & \int_{д (т_{я}) "=" д_{я}}^{д (т_{ф}) "=" д_{ф}} Д д Д е т (г_{я Дж})^{1 / 2} опыт {\frac{я}{ℏ} \int_{т_{я}}^{т_{ф}} г т л_{я н т} (\hat{д}, \dot{\hat{д}})} . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} Z_H~\stackrel{(12)}{\sim}~~~& \int_{q(t_i)=q_i}^{q(t_f)=q_f}\! {\cal D}q~{\cal D}p~\cr &\exp\left\{ \frac{i}{\hbar} S_{H,0}[q,p] +\frac{i}{\hbar}\int_{t_i}^{t_f}\!dt \left(-\frac{1}{2}\dot{q}^2 + L_{\rm int}(\hat{q},\dot{\hat{q}}) \right)\right\}\cr ~\stackrel{\text{Gauss. int.}}{\sim}& \int_{q(t_i)=q_i}^{q(t_f)=q_f}\! {\cal D}q~ {\rm Det}(G_{ij})^{1/2} \exp\left\{ \frac{i}{\hbar} \int_{t_i}^{t_f}\!dt~ L_{\rm int}(\hat{q},\dot{\hat{q}}) \right\}. \end{align}\tag{13}$
Наивный лагранжев интеграл по путям
$\begin{matrix} (14) & Z_{л} \sim \int_{Вопрос (т_{я}) "=" {Вопрос}_{я}}^{Вопрос (т_{ф}) "=" {Вопрос}_{ф}} Д Вопрос опыт {\frac{я}{ℏ} С [Вопрос]} \end{matrix}$ $Z_L~\sim~\int_{Q(t_i)=Q_i}^{Q(t_f)=Q_f}\! {\cal D}Q~ \exp\left\{ \frac{i}{\hbar} S[Q]\right\} \tag{14}$ может отличаться от гамильтонова интеграла по путям в фазовом пространстве (11), поскольку в нем отсутствует определитель из гауссовского интегрирования по импульсам $P_j$ . На практике часто неявно подразумевается, что мера интеграла по путям ${\cal D}Q$ в уравнении (14) содержит этот определяющий множитель по определению. Другими словами, определение $Z_L$ настроен, чтобы согласиться с $Z_H$ . См. также этот пост на Phys.SE.

Использованная литература:

М. Д. Шварц, QFT и Стандартная модель, 2014; Раздел 9.2.
К. Ициксон и Дж. Б. Зубер, QFT, 1985; Подраздел 6-1-4.
С. Вайнберг, Квантовая теория полей, Vol. 1, 1995; Разделы 7.2, 7.5 и 9.3.
М. Средненицкий, QFT , 2007; Глава 6. Предварительный вариант PDF-файла доступен здесь .

--

$^1$ Обозначение: мы будем подавлять пространственные (но не временные) измерения, используя сокращенное обозначение ДеВитта . Заглавные буквы для полей в картинке Гейзенберга и строчные буквы для полей в картинке взаимодействия . Метрика $G_{ij}(Q)$ в пространстве конфигурации не следует путать с метрикой пространства (времени).

$^2$ Существует обычная история о том, как вымыть мгновенные собственные состояния и заменить их состоянием вакуума, которую мы не будем здесь повторять, см., например, [1]. 4.

$^3$ Следует подчеркнуть, что вывод здесь формальный и беззастенчиво сосредоточен на нековариантном термине, отмеченном красным. Мы проигнорировали различные проблемы с порядком операторов более высокого порядка, ср. например , этот и этот сообщения Phys.SE.

Дополнительные ссылки: 5. LH Ryder, QFT, 2-е изд., 1996; Раздел 5.5.

Производное взаимодействие: Hint≠−LintHint≠−Lint\mathcal{H}_\mathrm{int}\neq - \mathcal{L}_\mathrm{int}. Вопрос о правилах Фейнмана

пользователь153663

Ответы (2)

СлучайныйПреобразование Фурье

проф. Леголасов

СлучайныйПреобразование Фурье

Qмеханик

Qмеханик

Интегрирование по калибровочному полю в абелевой теории Черна-Саймонса в формализме полевых интегралов

Инвариантность меры Фаддеева-Попова по Хаару для U(1)U(1)U(1)

(Анти)коммутация призраков и фермионов

Лагранжианы, объединяющие члены с 1 и 2 производными

В каких случаях оператор Баталина-Вилковиского (БВ) нильпотентен?

Каково ограничение на калибровочный потенциал в ковариантных калибрах?

Почему состояния отрицательной нормы нарушают унитарность?

Интеграл по путям и геометрическое квантование

Можем ли мы вычислять интегралы по траекториям в калибровочных теориях, не фиксируя калибровку?

Квантование Баталина-Вилковиского