Элементы S-матрицы в формализме интеграла по траекториям

У меня есть вопрос, связанный со связью между элементами S-Matrix и формализмом интеграла по путям. Чтобы сформулировать вопрос, я для простоты буду работать со скалярной теорией поля.

Предположим, что нам дано действие$S[\phi]$. В формализме интеграла по путям теперь мы можем определить производящий функционал

$$\begin{equation} Z[J] \propto \int \mathcal{D}\phi ~ e^{i S[\phi] + \int d^4x~ \phi(x) J(x)} \end{equation}$$ и рассчитать произвольные значения вакуумного ожидания $$\begin{equation} \left<0| \phi(x_1) \ldots \phi(x_n) | 0 \right> \end{equation}$$ используя функциональные производные по источнику $J$. Я также знаю, как вычислять значения вакуумного среднего в «формализме канонического квантования» (теорема Вика и т. д.). Все идет нормально.

Обычно нас интересуют не vevs, а элементы S-матрицы, такие как$\left<p_1, \ldots, p_n|q_1, \ldots, q_m \right>$где$p_i$и$q_j$– исходящий и входящий импульсы частиц. Кроме того, переход между$S$-матричные элементы и vevs мне тоже понятны: это как раз и дается формулой приведения ЛСЗ. Итак, в принципе, теперь все готово: мы можем вычислить все в формализме интеграла по траекториям и в конечном итоге связать это с реальными матричными элементами, используя формулу LSZ.

А теперь мои актуальные вопросы:

1. Кажется, что существует более прямая связь между элементами S-матрицы и формализмом интеграла по путям. На самом деле, в статье Wikischolar об тождествах Славнова и Тейлора (написанной самим доктором Славновым) утверждается, что$S$матрица может быть записана как$S = Z[0]$. Откуда это взялось и как это интерпретировать? Я в замешательстве, потому что я думал, что$S$была скорее матрицей (элементы которой, т.е. элементы матрицы, являются числами) и$Z[0]$это просто число (вычисленный интеграл). Так что для меня это читается как «матрица = число»... Кроме того, если это уравнение верно, как мы можем получить$S$матричные элементы оттуда?

2. Еще больше сбивает с толку то, что, по-видимому, существует еще одно отношение к$S$-матричный элемент. Я нашел это в Weinberg Vol. II, глава 15.7 вокруг уравнения (15.7.27). Там у нас есть действие, имеющее вид$I + \delta I$(контекст здесь, что$I$является фиксированным калибровочным действием неабелевой калибровочной теории и$\delta I$является изменением из-за небольшого изменения условия фиксации калибровки, но здесь это не имеет большого значения). Тогда он говорит: Фундаментальное физическое требование состоит в том, чтобы матричные элементы между физическими состояниями не зависели от нашего выбора условия фиксации калибровки, или, другими словами, от$\delta I$. Изменение любого элемента матрицы$\langle\alpha|\beta\rangle$из-за изменения$\delta I$в$I$является

   $$\begin{equation} \delta \langle\alpha|\beta\rangle ~\propto ~\langle\alpha|\delta I|\beta\rangle. \end{equation}$$ Итак, теперь кажется, что существует даже связь между действием и$S$-матричные элементы. Как это вписывается в общую картину?

Скоро мой экзамен QFT, так что большое спасибо за ваши ответы!