Нахождение правил Фейнмана для редуцированной/псевдо-КЭД

Давайте запишем действие и исследуем каждый термин в отдельности.

$$S = \int d^{d+1}x \Big[ \delta(x^d)\bar{\psi}\iota\gamma^\mu (\partial_\mu + ieA_\mu) \psi(x)-\frac{1}{4}F^{\hat{\mu}\hat{\nu}}F_{\hat{\mu}\hat{\nu}}(x) -\frac{1}{2}(\partial^{\hat{\mu}}A_\hat{\mu})^2(x) \Big]$$

Первый член является кинетическим членом для фермионного поля (безмассовый электрон) и, следовательно, определяет пропагатор. Во-первых, мы интегрируем дельта-функцию.

$$\newcommand{\fsl}[1]{#1\kern-0.4em\raise0.22ex\hbox{/}} \int d^{d+1}x \ \delta(x^d)\bar{\psi}\iota \fsl{\partial} \psi(x) = \int d^dx \ \bar{\psi}\iota \fsl{\partial} \psi(x)$$

Функция Грина определяется с помощью

$$\iota \fsl{\partial} S_F (x-y) = \iota \delta^{(d)}(x-y) \, ,$$

что в импульсном пространстве означает

$$\fsl{k} \tilde{S}_F(k)=\iota$$ $$\Rightarrow \boxed{\tilde{S}_F(k) = \frac{\iota}{\fsl{k}}}$$

Следующий член в действии дает взаимодействие между светом и электронами. Мы подойдем к этому в ближайшее время. Последние два члена составляют пропагатор для фотонов. Как обычно, перепишите напряженность электромагнитного поля через калибровочное поле, а затем найдите соответствующую функцию Грина в импульсном пространстве.

$$\begin{align*} \int d^{d+1}x \ \Big[ -\frac{1}{4}F^{\hat{\mu}\hat{\nu}}F_{\hat{\mu}\hat{\nu}}-\frac{1}{2}(\partial^{\hat{\mu}}A_\hat{\mu})^2 \Big] &= \int d^{d+1}x \ \Big[ -\frac{1}{2} A^\hat{\mu}(-\eta_{\hat{\mu} \hat{\nu}}\partial^2 + \partial_\hat{\mu}\partial_\hat{\nu}) A^\hat{\nu} + \frac{1}{2} A^\hat{\mu}\partial_\hat{\mu}\partial_\hat{\nu} A^\hat{\nu} \Big] \\ &= \int d^{d+1}x \ \Big[ -\frac{1}{2} A^\hat{\mu} (-\eta_{\hat{\mu} \hat{\nu}}) \partial^2 A^\hat{\nu} \Big] \\ \end{align*}$$

Таким образом, мы получаем функцию Грина следующим образом.

$$\eta_{\hat{\mu} \hat{\lambda}} \partial^2 {D_F}^{\hat{\lambda}\hat{\nu}}(x-y) = \iota \ {\delta_\hat{\mu}}^\hat{\nu} \delta^{(d)}(x-y)$$

$$\Rightarrow -k^2 \eta_{\hat{\mu} \hat{\lambda}} \ {\tilde{D}_F}^{\hat{\lambda}\hat{\nu}}(k) = \iota \ {\delta_\hat{\mu}}^\hat{\nu}$$

$$\Rightarrow \boxed{ {\tilde{D}_F}^{\hat{\lambda}\hat{\nu}}(k) = \frac{-\eta_{\hat{\lambda}\hat{\nu}} } {k^2} } \, ,$$

где$k^2 = k_\hat{\mu} k^\hat{\mu}$.

Теперь исследуйте последний термин в действии. Отметим, что взаимодействие с полем фотона происходит только в d-бране (вектор поляризации взаимодействующего фотона полностью лежит в$d$-брана). Мы можем безопасно интегрировать дельта-функцию.

$$\int d^{d+1}x \ \delta(x^d)\bar{\psi}\iota \gamma^\mu (\iota e A_\mu) \psi = \int d^dx \ \bar{\psi}(-e) \fsl{A} \psi$$

Напомним, что корреляционная функция имеет$e^{iS}$внутри упорядочения по времени, которое мы пертурбативно расширяем перед выполнением сокращений Вика (в качестве альтернативы, производящий интеграл является функциональным интегралом приведенной выше экспоненты). Следовательно, вершина взаимодействия будет давать член, пропорциональный$-\iota e \gamma^\mu \int d^dx$что в импульсном пространстве дало бы нам следующее выражение.

В заключение отметим, что, поскольку поляризация фотонов выровнена вдоль$x^d$-ось отделяется от$d$-бранных взаимодействий, мы можем смело игнорировать$\hat{\mu}=d$члены от числителя фотонного пропагатора.

Пожалуйста, дайте мне знать, если я сделал какие-либо концептуальные ошибки.