Безмассовый бозон в 2D и его (запаздывающий) пропагатор

Пропагаторы безмассовых бозонов равны нулю только внутри светового конуса, если количество пространственных измерений нечетно и больше 1.

Вы можете определить точную форму пропагатора на световом конусе, даже если он расходится, и сделать это для любого количества пространственных измерений следующим образом:

Используйте это выражение, чтобы вывести пропагатор в d пространственных измерениях из одномерного случая с,

$P_d{(t,r)}\ =\ \frac{1}{2\pi^a}\ \frac{\partial^a }{\partial (s^2)^a}\ P_1{(t,r)}$

где$~P{(t,r)}~$является распространителем, с$~~a=(d-1)/2~$и$~~s^2=t^2-r^2$

Для действительно ценного пропагандиста Клейна Гордона это становится:

$P_d^{KG}{(t,r)}\ =\ \frac{1}{2\pi^a}\ \frac{\partial^a }{\partial (s^2)^a} \left\{\ {\cal H}(s^2) J_o(ms)\ \right\}$

Где${\cal H}(s^2)$это ступенчатая функция Хевисайда, которая равна 1 внутри светового конуса и 0 вне светового конуса. В безмассовом случае это будет:

$P_d^{KG}{(t,r)}\ =\ \frac{1}{2\pi^a}\ \frac{\partial^a }{\partial (s^2)^a} \left\{\ {\cal H}(s^2)\ \right\}$

Следующие графики, показывающие безмассовые случаи, взяты из численного моделирования:

В случае с 1 пространственным измерением вы видите ступенчатую функцию Хевисайда. Третий случай представляет собой производную первого порядка ступенчатой ​​функции. Случай 5d представляет собой производную второго порядка ступенчатой ​​функции и так далее.

Случаи четной размерности отличны от нуля внутри светового конуса из-за производных 1/2 порядка.

Оператор, который выводит d-мерный пропагатор из 1-мерного пропагатора, получен в моей статье здесь: http://www.physics-quest.org/Higher_Dimension_EM_radiation.pdf в разделе V.

Использование пуассоновского представления функции Бесселя$J_n(z) = \frac{(z/2)^n}{\sqrt{\pi} \Gamma(n+1)} \int_0^{\pi} \cos{(z\cos{\theta})} \sin^{2n}{\theta} d\theta$, можно определить константу..

Например, в 3 + 1 d для пространственноподобного расстояния мы можем сделать преобразование Лоренца так, что$r = x-y$является чисто пространственным, тогда амплитуда$D(x-y) \sim \int dp \frac{p}{\sqrt{p^2 +m^2}} e^{ipr} \sim \delta{(r)}$..(Я использую обозначения Пескина, см. гл. 2.4, уравнение (2.52))