Интуиция по положительно-операторным мерам (POVM)

Позвольте мне немного расширить интуитивную часть и написать пример. Все это, по сути, уже охвачено ответом yuggib.

Как уже отмечалось, ваше замешательство в отношении положительных показателей, оцениваемых оператором, заключается в том, что их не следует путать с результатами измерений. Проблема с результатами измерений заключается в том, что они довольно произвольны. Часто они полагаются на шкалу (например, положение зависит от системы отсчета), поэтому вы можете по-разному зафиксировать эту шкалу и изменить результаты измерения. В каком-то смысле они являются чем-то, что должно быть определено в ходе эксперимента.

Таким образом, как теоретик большую часть времени вас не интересуют результаты измерений, а просто интересно знать, когда вы получаете разные результаты, и, что наиболее важно, знать их вероятности. И здесь на помощь приходят POVM.

Предположим, мы находимся в гильбертовом пространстве. Положительная операторнозначная мера — это карта, которая берет некоторое борелевское множество (в основном действительные числа как результаты эксперимента) и отображает его в положительные операторы. Они должны быть положительно (полу)определенными, потому что для заданного состояния существует мера (т. е. отображение борелевского множества в$[0,1]$), связанный с оператором через скалярное произведение.

Возьмем, к примеру, ваш эксперимент со спином: мы хотим измерить спин электрона. Результаты$-1/2,1/2$. Мы можем определить положительную операторнозначную меру следующим образом:

Позволять$\mathcal{H}$быть нашим гильбертовым пространством с нашим состоянием$\rho\in\mathcal{B}(\mathcal{H})$(соответствующая матрица плотности в ограниченных операторах - здесь мы могли бы просто взять$\mathbb{C}^2$для спина, но, возможно, мы хотим иметь всю матрицу плотности с большим количеством другой информации). Позволять$\mathcal{B}$— борелевская сигма-алгебра множества$\{-1/2,1/2\}$, т. е. множество подмножеств этого множества. Тогда положительной операторнозначной мерой является отображение

$$\mathcal{P}:\mathcal{B}\to \mathcal{B}(\mathcal{H})$$

и определяется через:

$$\mathcal{P}(\{-1/2\})=P,\quad \mathcal{P}(\{1/2\})=1-P\quad \mathcal{P}(\emptyset)=0 \quad \mathcal{P}(\{-1/2,1/2\})=1$$

где$P$есть некоторый положительный оператор, связанный с измерением спина (может быть, оператор Паули$Z$когда мы рассматриваем$\mathbb{C}^2$) Мера, связанная с этим для данного состояния$\rho$является

$$\mu_{\rho}(U):=\operatorname{tr}(\mathcal{P}(U)\rho) \qquad \forall U\in \mathcal{B}$$

Предполагается, что это вероятностная мера. Если вы, например, возьмете подмножество$\{-1/2\}$затем$\mu_{\rho}(\{-1/2\})$дает вам вероятность того, что если вы измерите$\rho$, вы получите результат$-1/2$. Это объясняет наши определения, приведенные выше: пустое множество должно быть отображено на ноль, все пространство должно быть отображено на 1, и все должно быть неотрицательным и находится между нулем и единицей. Следовательно, операторы должны быть положительными и давать в сумме единицу!

Чтобы расширить комментарий, для характеристики самосопряженных операторов вводятся спектральные меры или проекционнозначные меры.

Это семейства ортогональных проекций в гильбертовом пространстве, которые при соответствующем воздействии на векторы определяют меру. Если обозначить через$\{P_\lambda\}_{\lambda\in\mathbb{R}}$это семейство, самосопряженный оператор$A$соответствующее ему можно записать как

$$A=\int_{\mathbb{R}} \lambda dP_\lambda$$

Проекции являются положительными операторами, поскольку мера обычно положительна при измерении (борелевских) подмножеств вещественных чисел (положительный объем). Тем не менее, если мы интегрируем функцию, вы можете получить отрицательные значения. Итак, интеграция$\lambda$относительно спектральной меры вы можете получить отрицательные значения (в соответствии с измерением наблюдаемых с отрицательным значением).

Для общей операторнозначной меры с той же интерпретацией вам также потребуется положительность операторов, которые генерируют меру. Отсюда и название «положительные» операторнозначные меры.

(предупреждение: я так понимаю, но я не эксперт в этом вопросе, поэтому могу ошибаться.)

Процедура измерения, описываемая измерением, выглядит следующим образом: у вас есть квантовое состояние, и вы выполняете некоторые измерения на нем. Выполнение измерения означает, что вы получаете один из набора результатов. Например, если вы измеряете компонент спина электрона в определенном направлении, у вас есть два возможных результата: спин вверх или спин вниз. Состояние электрона определяет, какой из результатов происходит с какой вероятностью.

Обратите внимание, что в приведенном выше описании я не присваивал значения этим событиям. Конечно, мы знаем, что «спин вверх» соответствует компоненту вращения$\hbar/2$, и "скручивается" до спиновой составляющей$-\hbar/2$, но для описания самого измерения это не имеет значения; все, что имеет значение, это то, что детектор 1 сработает, если мы получим частицу со спином вверх, а детектор 2 сработает, если мы получим частицу со спином вниз.

Кроме того, при рассмотрении POVM нас не интересует, какое состояние будет после измерения (действительно, если мы измеряем фотоны, состояние после измерения обычно такое: «фотон больше не существует»). Нас интересует только то, какое событие произойдет с какой вероятностью.

Также обратите внимание, что процедура измерения может быть более сложной. Например, измерение может быть таким: «позволить рассматриваемому объекту определенным образом взаимодействовать с другим объектом, а затем измерить этот другой объект». В этом случае результат измерения вообще не может быть связан с конкретным чистым состоянием измеряемого объекта. Например, вы можете легко получить POVM с тремя исходами для спина частицы со спином 1/2. Тогда ни один из трех результатов не может быть связан с конкретным уникальным значением спина.

Действительно, одних этих соображений достаточно, чтобы вывести свойства POVM:

Во-первых, POVM описывается набором функций$f_k$отображение состояния ввода$\rho$к вероятности$p_k=f_k(\rho)$чтобы получить результат измерения$k$при измерении этого входного состояния.

Во-первых, рассмотрим случай, когда вам предоставлено состояние$\rho_A$с вероятностью$p_A$и государство$\rho_B$с вероятностью$p_B$. Тогда общее состояние, которое вам предоставляется, равно

$$\rho = p_A\rho_A + p_B\rho_B. \tag{1}$$

Теперь по правилам вероятности, если , то вероятность получения результата измерения$k$является

$$f_k(\rho) = p_A\cdot f_k(\rho_A) + p_B\cdot f_k(\rho_B)\tag{2}$$

Теперь подставив (1) в (2), вы получите линейность функций$f_k$. Но любую линейную функцию от ограниченного оператора до числа можно записать в виде трассировки

$$f_k(\rho) = \operatorname{tr}(E_k\rho)$$ для какого-то оператора $E_k$.

Свойства$E_k$можно легко вывести из свойств вероятностей:

Поскольку вероятности вещественны, а матрицы плотности эрмитовы, отсюда следует, что$E_k$также должны быть эрмитовыми.

Так как вероятности всегда неотрицательны, то для любого$\rho$

$$0 \le p_k = \operatorname{tr}(E_k\rho)$$ поэтому каждый $E_k$должен быть положительным.

Также, поскольку мы всегда получаем один из результатов измерения, для любого состояния$\rho$вероятности различных результатов должны составлять в сумме$1$, то есть

$$1 = \sum_k f_k(\rho) = \sum_k \operatorname{tr}(E_k\rho) = \operatorname{tr}\left(\left(\sum_kE_k\right)\rho\right)$$

что подразумевает, что

$$\sum_kE_k = I$$ где $I$является тождественным оператором.