Нахождение матричного представления супероператора

Если вы хотите написать супероператор, представляющий левое или правое умножение, есть отдельный метод, более простой и элегантный. Определим супероператор левого умножения как

$$\mathcal{L}(A)[\rho] = A\rho,$$ и супероператор умножения справа на $$\mathcal{R}(A)[\rho] = \rho A.$$ Должно быть ясно, что эти операции коммутируют, т.е. $\mathcal{L}(A)\mathcal{R}(B) = \mathcal{R}(B)\mathcal{L}(A)$. Многие общие супероператоры могут быть представлены в виде суммы этих элементарных компонентов, например коммутатор: $$[H,\rho] = \mathcal{L}(H)[\rho] - \mathcal{R}(H)[\rho].$$ На самом деле я считаю, что все супероператоры могут быть представлены в терминах этих элементарных операций, хотя я никогда этого не доказывал: это кажется довольно очевидным.

Теперь, чтобы представить эти операции в виде матриц, вам нужно преобразовать целевой оператор в вектор. Один из способов выполнения этого сопоставления заключается в следующем.

$$\tag{1}\rho = \sum_{i,j} \rho_{ij}\;\lvert i\rangle\langle j\rvert \to \sum_{i,j} \rho_{ij}\;\lvert i\rangle\otimes\lvert j \rangle .$$ В этом уплощенном представлении мы находим $$\mathcal{L}(A)[\rho] = \sum_{i,j} \rho_{ij}\;A\lvert i\rangle\langle j\rvert \to \sum_{i,j} \rho_{ij}\;(A\lvert i\rangle)\otimes\lvert j \rangle = \sum_{i,j} \rho_{ij}\;(A\otimes \mathbb{1})\lvert i\rangle\otimes\lvert j \rangle.$$ Поэтому супероператор левого умножения представляется матрицей $\mathcal{L}(A)= (A\otimes\mathbb{1})$. Точно так же вы должны быть в состоянии показать, что $\mathcal{R}(A) = (\mathbb{1}\otimes A^T)$.

Имейте в виду: многие стандартные пакеты компьютерной линейной алгебры автоматически не выполняют сглаживание карты в соответствии с уравнением. (1). Например, функция MATLAB reshape() использует другое соглашение, означающее, что эти формулы должны быть адаптированы.

Это в точности аналогично процедуре нахождения матричных элементов нормальных операторов. Давайте сначала вспомним, как это работает в знакомом случае. Вы выбираете ортонормированный базис векторов, скажем$|n\rangle$, с$n = 1,2,\ldots D$, где$D$- размерность гильбертова пространства, такая, что$\langle n\rvert m\rangle = \delta_{mn}$. Теперь матричные элементы оператора$A$даны

$$A_{mn} = \langle m\rvert A\lvert n\rangle.$$

Процедура для супероператоров такая же, но внутренний продукт другой. Здесь удобно использовать произведение Гильберта-Шмидта двух операторов:

$$(A,B) = \mathrm{Tr}\{A^{\dagger}B\}.$$ Теперь вы должны найти полный ортонормированный базис относительно этого произведения Гильберта-Шмидта, т. е. набор матриц $M_\mu$, с $\mu = 1,2,\ldots,D^2$, такой, что $(M_\mu,M_\nu) = \delta_{\mu\nu}$. Удобный выбор для $D=2$является базисом Паули: $$M_\mu \in \left\lbrace\frac{1}{\sqrt{2}}\mathbb{1},\frac{1}{\sqrt{2}}\sigma^x,\frac{1}{\sqrt{2}}\sigma^y,\frac{1}{\sqrt{2}}\sigma^z\right\rbrace.$$ Другим простым выбором базиса, который легко обобщить, является набор $D^2$матрицы, которые имеют один элемент со значением $1$, а все остальные элементы $0$.

Теперь, если у вас есть супероператор$\mathcal{L}$, его матричные элементы находятся по формуле

$$\mathcal{L}_{\mu\nu} = (M_\mu, \mathcal{L}[M_\nu] ).$$ Например, если у вас есть гамильтониан $H$генерация лиувилля $\mathcal{L}[\bullet] = -i[H,\bullet]$, один из его матричных элементов в базисе Паули находился бы из $$\mathcal{L}_{xy} = \frac{-i}{2}\mathrm{Tr}\left\lbrace\sigma^x [H,\sigma^y]\right\rbrace.$$