Понимание матрицы плотности для чистых состояний по сравнению со смешанными состояниями

Итак, в моем учебнике есть вопрос, который объясняет следующий сценарий:

Физик проводит два эксперимента A и B, чтобы подготовить квантовые системы в различных начальных состояниях. В эксперименте А он использует вероятностную машину, которая может подготовить одиночную квантовую систему в одном из$n$возможные чистые состояния$\{\lvert \psi_1 \rangle, \lvert \psi_2 \rangle, ..., \lvert \psi_n \rangle \}$с соответствующими вероятностями$\{\lvert p_1 \rangle, \lvert p_2 \rangle, ..., \lvert p_n \rangle \}$. В эксперименте$B$, вместо этого он генерирует m невзаимодействующих квантовых систем, каждая из которых находится в соответствующем более низком энергетическом состоянии.$\{\lvert \phi_1 \rangle, \lvert \phi_2 \rangle, ..., \lvert \phi_m \rangle \}$. Позволять$\rho_A$и$\rho_B$— матричные операторы плотности для квантовых состояний, приготовленные в экспериментах$A$и$B$, соответственно.

И спрашивает следующее:

1. Запишите выражение для обоих$\rho_A$и$\rho_B$и вывести выражение для ожидаемого значения$\hat{O_A}$и$\hat{O_B}$(эрмитовы операторы, описывающие наблюдаемую системы A и k-ю систему системы B соответственно).

2. Позволять$P_j$и$P_k$быть проекторами, связанными с состояниями$\lvert \psi_j \rangle$и$\lvert \psi_k \rangle$произведено$A$. Обсудите, является ли продукт$P_jP_k$исчезает.

Для вопроса 1 я написал следующее для системы$A$:

$$\rho_A = \lvert \psi_j\rangle\langle \psi_j\rvert \tag{1}$$

$$\hat{O_A} = Tr(\hat{O_A} \rho_A) = Tr(\hat{O_A}\lvert\psi_j\rangle\langle \psi_j\rvert) \tag{2}$$

Мое обоснование уравнения 1 заключается в том, что система A создает только чистые состояния и генерируется только «одно» состояние, поэтому матрица плотности содержит только один член (здесь j представляет j-е сгенерированное состояние). Однако в вопросе упоминаются их вероятности, которые я не включил в свой ответ, потому что генерируется только одно состояние. Должен$p_j$быть коэффициентом в уравнении (1), а не просто числом 1?

Для системы$B$, у меня есть следующее:

$$\rho_B = \frac{1}{m}\sum_i\lvert \phi_i\rangle\langle \phi_i\rvert \tag{3}$$

Я обосновываю это тем, что эксперимент B описывает смешанное состояние, которое дает в общей сложности m состояний, и, следовательно, каждое состояние имеет вероятность$\frac{1}{m}$. Однако я не уверен, как записать ожидаемое значение для эксперимента.$B$.

Для второго вопроса я могу выразить произведение как

$$P_jP_k = \lvert \psi_j\rangle\langle \psi_j\rvert \psi_k\rangle\langle \psi_k\rvert \tag{4}$$

Но поскольку мне не дали информации об ортогональности состояний для эксперимента$A$, как я должен вывести, обращается ли это уравнение в нуль или нет?

Если бы кто-нибудь мог дать какие-либо намеки или понимание моих ответов, это было бы очень признательно. Я не совсем уверен, что правильно понимаю различия между чистыми и смешанными состояниями.