Являются ли эти две разные формы оператора сжатия эквивалентными?

Насколько мне известно, оператор сжатия можно представить так:

С ( г ) "=" опыт ⁡ ( 1 2 г а † а † − 1 2 г * а а )
где г "=" р е я θ .

Когда я попытался использовать формулу Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа для расширения С ( г ) , я нашел статью «Невозможность наивного обобщения сжатых когерентных состояний» PRD 29, 1107 (1984), где

С ′ ( г ) "=" опыт ⁡ ( 1 2 е я θ танх ⁡ р а † а † − 1 2 е − я θ танх ⁡ р а а + ( сеч р − 1 ) а † а − 1 2 п ⁡ ( чушь ⁡ р ) ) .

Я не мог видеть, что они эквивалентны друг другу. я знаю это

лим р − > 0 С ′ ( г ) "=" С ( г ) ,

но я не думаю, что есть такое предположение, когда мы имеем дело с большинством случаев. Я что-то неправильно понял здесь?

Является ли это следствием действия оператора смещения Д ( α )   "="   е Икс п ( α а † − α * а ) на операторе сжатого состояния С ( г ) ? Формула БЧХ обычно применяется для умножения возведенных в степень операторов.
@LawrenceB.Crowell Я так не думаю, нет α во второй формуле, и я думаю, что это для сжатого вакуумного состояния. Существует формула Цассенхауса для выражения типа е Икс п ( а + б ) , как я вижу на странице википедии формулы BCH: en.wikipedia.org/wiki/… .
Вам следует пересмотреть свой вопрос, так как он вводит в заблуждение: S' и S не равны/эквивалентны друг другу. Авторы удивительно неясны в своем использовании оператора нормального порядка η , который мало что для меня значит, даже дает им какую-то пользу от сомнений. На следующей странице они все четко детализируют и показывают, как легко перейти к (3.2) из ​​S, через (3.7) и затем (3.8). Вы были бы счастливы игнорировать (3.1) и его гонзо-двусмысленность.

Ответы (3)

Обычное разложение

С ( г ) "=" опыт ⁡ { 1 2 ( г а † 2 − г * а 2 ) } "=" опыт ⁡ { е я θ 1 2 танх ⁡ | г | а † 2 } опыт ⁡ { − п ⁡ чушь ⁡ | г | ( а † а + 1 2 ) } опыт ⁡ { − е − я θ 1 2 танх ⁡ | г | а 2 } , "=" опыт ⁡ { − е − я θ 1 2 танх ⁡ | г | а 2 } опыт ⁡ { + п ⁡ чушь ⁡ | г | ( а † а + 1 2 ) } опыт ⁡ { е я θ 1 2 танх ⁡ | г | а † 2 } .
Это происходит очень быстро, если вы используете разложение Гаусса и точное, но неунитарное представление с ты ( 1 , 1 ) алгебра:
а 2 ↦ 2 я о − , а † 2 ↦ 2 я о + , ( а † а + 1 2 ) ↦ о 3 .
В вашей оригинальной статье есть ключевые шаги по сравнению со страницей авторов eq 3.1. Однако я не понимаю, как авторы вашей статьи объединили все экспоненты в своем уравнении 3.1.

Поскольку ОП, похоже, разъединился и поэтому не может исправить вводящий в заблуждение вопрос (поиск доказательства не-факта), я отвечу на вызов / призыв @Emilio Pisanty к блефу: это возникает ритуальная путаница из этого выдающегося Nieto et al. paper , вероятно, и на этом сайте. Документ Truax, цитируемый в ответе ОП, является отвлекающим маневром - он не затрагивает сути неправильного прочтения ОП формулы (3.1) в Nieto et al и не проясняет ничего, что уже хорошо и явно описано Nieto et al. на стр. 1109. (В лучшем случае Truax - это сноска в книге Р. Гилмора, в которой подробно описывается и объясняется техника.)

Стандартный результат, о котором @mike Stone напоминает вам в своем ответе, (3.7) можно преобразовать с помощью великолепной перестановки CBH (3.8) в S (z) = (3.2). (Но обратите внимание на очевидную опечатку в правом компоненте последней матрицы (3.5).)

Замечание (3.2) находится в нормальном порядке, т. е. правильно и полно без каких-либо коммутаторов, которые были принесены в жертву какому-либо усечению нормального порядка!

Затем от (3.2) можно вернуться к совершенно лишнему (! да, я высуну шею) (3.1), правильно скопированному как

С ( г ) "=" η С ′ ( г ) "=" η опыт ⁡ ( 1 2 е я θ танх ⁡ р а † а † − 1 2 е − я θ танх ⁡ р а а + ( сеч р − 1 ) а † а − 1 2 п ⁡ ( чушь ⁡ р ) ) ,
где η является нормальным оператором упорядочивания , тривиализирующим любые и все коммутаторы в своем аргументе, поэтому, таким образом, диктуя обращение с некоммутирующими операторами как с коммутативными символами, когда они находятся внутри его области. Это пустой и несущественный росчерк, незнакомый большинству студентов, не изучающих QFT, и мало что добавляющий (ничего?) к обсуждению. Хороший рецензент посоветовал бы авторам пропустить такие лишние отступления, как это, для повышения удобочитаемости. Сам этот вопрос является доказательством его гипотетической прозорливости, если бы он действовал. Таким образом, вопрос заключается в отвлечении/неправильном прочтении классической и важной теоретико-групповой техники. (Например, я использую его здесь .)

Экв. (23a) в статье «Соотношения Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа и унитарность операторов сжатия SU (2) и SU (1,1)» (PRD 31, 8) решает мой вопрос. Подробные доказательства приведены в этой статье.

Этого немного мало для этого сайта, и он будет мало полезен будущим посетителям с похожими вопросами. Пожалуйста, включите краткое изложение решения вашей проблемы здесь.
@EmilioPisanty Извините, я не собираюсь вставлять сюда всю статью, так как статья в основном посвящена возникновению моего вопроса. Я отвечаю на свой вопрос, потому что это может быть полезно и другим. Я могу удалить вопрос, если он не соответствует правилам этого сайта.
@Лучжан Я не это имел в виду - акцент сделан на резюме. Вам не нужно (и не следует) вставлять всю статью, но абзац с подробным описанием ключевых моментов значительно улучшит этот ответ.
Являются ли эти две разные формы оператора сжатия эквивалентными?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v