Инвариантность пространственно-временного интервала непосредственно из постулата

В специальной теории относительности пространственно-временной интервал

( ⋆ ) г с 2 "=" г т 2 − г Икс 2 − г у 2 − г г 2
между двумя событиями, как известно, инвариантна относительно преобразований Лоренца, т. е. идентична для инерциальных наблюдателей.

Если предположить, что скорость света постоянна для всех инерциальных наблюдателей, то легко увидеть, что ( ⋆ ) действительно инвариантно, если события светоподобно разделены. Если я правильно помню, тогда можно было (предполагая однородность и изотропность пространства) также вывести, что ( ⋆ ) должно быть инвариантным для произвольных событий (т. е. также для времениподобных или пространственноподобных разделенных), но я не помню подробностей.

Может ли кто-нибудь помочь мне с этим?

IIRC, есть (сомнительный?) производный от Ландау и Лифшица. Что-то о том, что дифференциалы второго порядка по какой-то причине пропорциональны. Я не помню подробностей.
Да, я знаю... Я читал это на странице вики, но больше не мог найти. В какой именно книге? Можно было бы утверждать, что дифференциалы различаются на константу, которая может зависеть только от величины скорости (из-за изотропии пространства), а затем привести какой-то аргумент транзитивности с законом косинуса.
Вот он, в разделе «инвариантность интервала»: en.wikipedia.org/wiki/… . Я действительно не понимаю, почему аргумент должен быть сделан с использованием именно бесконечно малых, потому что мы уже знаем, что «светоподобное» равенство верно в общем (не бесконечно малом) случае.
Трактовка в этом стиле — Палаш Пал, «Ничего, кроме относительности», arxiv.org/abs/physics/0302045 .
@BenCrowell Лечение Пала действительно основано на требованиях однородности и изотропии, но оно выводит как неизменность скорости света, так и неизменность метрики одним ударом. Он явно не показывает, как инвариантность метрики, которая не гарантируется, когда мы постулируем только инвариантность скорости света, становится гарантированной, когда мы далее постулируем требования однородности и изотропии. Поправьте меня, если я не вижу за деревьями леса.

Ответы (1)

Как указал AccidentalFourierTransform, ответ дан в "Классической теории полей" , Л.Д.Ландау и Э.М.Лифшиц, Четвертое исправленное английское издание. Копировать вставить :

§ 2. Интервалы

В дальнейшем мы часто будем.......

...................

Как уже было показано, если г с "=" 0 в одной инерциальной системе, то г с ′ "=" 0 в любой другой системе. С другой стороны, г с и г с ′ являются бесконечно малыми одного порядка. Из этих двух условий следует, что г с 2 и г с ′ 2 должны быть пропорциональны друг другу:

г с 2 "=" а г с ′ 2
где коэффициент а может зависеть только от абсолютной величины относительной скорости двух инерциальных систем. Оно не может зависеть ни от координат, ни от времени, так как тогда разные точки пространства и разные моменты времени не были бы эквивалентны, что противоречило бы однородности пространства и времени. Точно так же оно не может зависеть от направления относительной скорости, так как это противоречило бы изотропии пространства.

Рассмотрим три системы отсчета К , К 1 , К 2 и разреши В 1 и В 2 быть скорости систем К 1 и К 2 относительно К . Тогда имеем:

г с 2 "=" а ( В 1 ) г с 1 2 , г с 2 "=" а ( В 2 ) г с 2 2
Точно так же мы можем написать
г с 1 2 "=" а ( В 12 ) г с 2 2 ,
где В 12 является абсолютным значением скорости К 2 относительно К 1 . Сравнивая эти отношения друг с другом, мы находим, что мы должны иметь
(2.5) а ( В 2 ) а ( В 1 ) "=" а ( В 12 ) .
Но В 12 зависит не только от абсолютных значений векторов В 1 и В 2 , но и от угла между ними. Однако этот угол не появляется в левой части формулы (2.5) . Поэтому ясно, что эта формула может быть правильной только в том случае, если функция а ( В ) сводится к константе, равной единице по той же формуле. Таким образом,
(2.6) г с 2 "=" г с ′ 2 ,
а из равенства бесконечно малых интервалов следует равенство конечных интервалов: с "=" с ′ .

Таким образом, мы приходим к очень важному результату: интервал между двумя событиями одинаков во всех инерциальных системах отсчета, т. е. инвариантен при переходе от одной инерциальной системы к любой другой. Эта инвариантность есть математическое выражение постоянства скорости света.

Спасибо, что поделились разделом. Я полагаю, что как только мы это узнаем а зависит только от скорости, остальное понятно. Определенный пространственно-временной интервал инвариантен относительно поворотов в трехмерном пространстве, поэтому, если один наблюдатель вращает свои координаты, это не должно изменить выражение для а . Я не понимаю, как однородность пространства и времени подразумевает зависимость от в только, однако. Есть предположения?
@Thomas Bakx: внимательно прочитайте абзац под первым уравнением.
Я сделал, но я думаю, что я упускаю суть. О чем это г с 2 г с ′ 2 что делает эту работу? Кажется, я мог бы просто вставить любую другую функцию и утверждать, что частное «нештрихованный»/«штрихованный» не может зависеть от пространства и времени из-за однородности... Надеюсь, это прояснит мою проблему. Если я правильно понимаю, однородность пространства и времени утверждает (более или менее), что любая инвариантная физическая величина может зависеть только от разности координат. Это делает предлагаемый г с 2 выглядеть по крайней мере разумно.
@ThomasBakx О чем это г с 2 г с ′ 2 что делает эту работу? Я бы ничего не сказал. Это сработает для абсолютно любых двух величин, которые должны одновременно обратиться в нуль. Но ясно, что только эти специально построенные величины должны были бы одновременно обращаться в нуль, поскольку мы постулируем только один раз инвариантную скорость.
Что касается того, почему а не зависело бы от координат: Имеем г с 2 "=" а г с ′ 2 . Это означает, что у нас есть η α β г Икс α г Икс β "=" а η мю ′ ν ′ г Икс ′ мю г Икс ′ ν . Теперь, если только а константа, не гарантируется, что каждый ∂ 2 Икс ′ мю ∂ Икс α ∂ Икс β исчезает. Но мы хотим, чтобы все они исчезли для однородности. Таким образом, доказано.
Я понимаю. Таким образом, используя однородность пространства, мы делаем вывод, что все преобразования на самом деле должны быть \textit{аффинными}, не обязательно линейными (нам не нужно фиксировать начало координат), но в любом случае частичные второго порядка равны нулю, или, эквивалентно, частичные первого порядка постоянны (независимо от пространства и времени). Затем можно просто передать базисные векторы одного кадра (скажем, незаштрихованные координаты) в метрику и наблюдать, что г Икс ′ мю ( ∂ α ) "=" ∂ Икс ′ мю ∂ Икс α "=" Λ α мю .
Инвариантность пространственно-временного интервала непосредственно из постулата
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v