Лоренц-преобразование

Роль символа транспонирования

Векторы обычно представляются матрицей-столбцом.

$$\Delta x= \begin{bmatrix}c\Delta t \\ \Delta x \\\Delta y\\ \Delta z \end{bmatrix} .$$ Таким образом $$\Delta x^T= \begin{bmatrix}c\Delta t & \Delta x &\Delta y& \Delta z \end{bmatrix} .$$ Инвариантный интервал в матричном представлении определяется выражением $$\Delta s^2=\Delta x^T\eta\Delta x=\begin{bmatrix}c\Delta t & \Delta x &\Delta y& \Delta z \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1& 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0& 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}c\Delta t \\ \Delta x \\\Delta y\\ \Delta z \end{bmatrix}$$ $$=(c\Delta t)^2 - \Delta x^2 -\Delta y^2 - \Delta z^2$$

Зачем нужно умножать на Λ?

Поскольку уравнение преобразования Лоренца задается выражением

$$\Delta x' = \Lambda \Delta x$$ подставляя это в интервале$(\Delta s)^2 = (\Delta x')^T \eta (\Delta x')$мы получаем $$(\Delta s)^2= (\Lambda\Delta x)^T \eta (\Lambda\Delta x)=\Delta x^T\Lambda^T\eta \Lambda\Delta x$$
Это то же самое, что$(\Delta x)^T \eta (\Delta x)$. Проанализируйте его с помощью приведенного выше уравнения, вы получите$\eta = \Lambda^T \eta \Lambda$

Чтобы ответить на ваш вопрос:

1. Если вы посмотрите на$\mathrm{(1.26)}$внимательно, вы увидите, что у нас есть

   $$(\Delta s)^2 = (\Delta x )^T \eta(\Delta x) = (\Delta x')^T \eta(\Delta x')$$ Это приравнивание линейного элемента в двух разных инерциальных системах отсчета. Обратите внимание, что выражение в правой части является функцией$\Delta x'$нет$\Delta x$. С использованием$\Delta x' = \Lambda \Delta x$и$(\Delta x')^T = (\Delta x)^T \Lambda^T$вы можете видеть, где оба$\Lambda$и$\Lambda^T$пришли из.

2. Символ транспонирования связан с тем, что линейный элемент должен быть скаляром, поэтому «матрица», представляющая оба$\Delta x$термины должны иметь размеры, обратные «матрице», представляющей метрику. Мне лично не нравится этот формализм, и если вы продолжите заниматься общей теорией относительности, вы познакомитесь с тензорами и правилом суммирования Эйнштейна. В этом формализме это намного яснее, потому что линейный элемент задается как

   $$ds^2=g_{\mu \nu} dx^\mu dx^\nu$$ где$g_{\mu \nu}$является метрикой. В этих обозначениях вы можете ясно видеть, что линейный элемент является скаляром, а метрика — тензором (0,2), поэтому$dx^\mu dx^\nu$, если рассматривать его как один объект, как в вашем вопросе, должен быть тензор ранга (2, 0).

Должен признаться, мне лично не нравится форма, данная в$\mathrm{(1.26)}$так как я чувствую, что это сбивает с толку относительно того, что$\Delta x$и почему, как вы спросили, мы хотим взять транспонирование. Поэтому я напишу тот же вывод в обозначениях, используемых в общей теории относительности, надеюсь, вы найдете это более понятным.

У нас есть линейный элемент в двух кадрах как

$$ds^2 = \eta_{\mu \nu}dx^\mu dx^\nu = \eta'_{\mu' \nu'} dx^{\mu'} dx^{\nu'}$$ где мы работаем в пространстве Минковского (специальная теория относительности), поэтому$\eta = \eta'$. $\mu'$и$\nu'$означают, что это новые индексы в новом кадре. Они даются преобразованием Лоренца $$dx^{\mu'} = \Lambda^{\mu'}{}_\mu dx^\mu.$$ Обратите внимание, что здесь «матрица» преобразования на самом деле является тензором (1,1). Соглашение Эйнштейна о суммировании говорит нам, что мы суммируем по повторяющимся$\mu$так что же единственный свободный индекс в правой части$\mu'$, как и в левой части. Подстановка этого в приведенное выше дает $$\eta_{\mu \nu}dx^\mu dx^\nu = \eta'_{\mu' \nu'} \Lambda^{\mu'}{}_\mu \Lambda^{\nu '}{}_\nu dx^\mu dx^\nu$$ Так, $$\eta_{\mu \nu} = \Lambda^{\mu'}{}_\mu \Lambda^{\nu'}{}_{\nu} \eta'_{\mu' \nu'}$$ Что такое же, как $$\eta'=\Lambda^T\eta\Lambda.$$