Однородность и изотропия и вывод преобразований Лоренца

При выводе преобразований Лоренца я обнаружил (прочитав несколько конспектов лекций по разным наборам), что утверждается, что они должны быть линейными и, следовательно, должна быть общая форма.

Икс ′ "=" А Икс + Б т , т ′ "=" Д Икс + Е т
(предполагая относительное движение между двумя инерциальными системами отсчета С и С ′ вдоль одной оси).

Мой вопрос в том, можно ли аргументировать линейность преобразований Лоренца исключительно исходя из двух постулатов Эйнштейна, или нужно допустить однородность пространства и времени и изотропность пространства?

Я как бы вижу, что они должны быть линейными исключительно из того факта, что кто-то хочет отобразить между двумя инерциальными системами отсчета, и, следовательно, в частности, прямые должны быть отображены в прямые (иначе частица, наблюдаемая неускоренной в одной инерциальной системе отсчета, будет кажутся ускоряющимися в другом). Кроме того, обратное линейному преобразованию также является линейным, что необходимо, иначе такие преобразования выделяли бы его привилегированные инерциальные системы отсчета, нарушая принцип относительности.

Однако не требует ли само существование глобальных инерциальных систем пространственной однородности и изотропности, поскольку в противном случае любые измерения, производимые наблюдателем в данной инерциальной системе отсчета, зависели бы от положения наблюдателя в инерциальной системе отсчета и в каком направлении они производятся? измерение?!

Если исходить из предположения об однородности и изотропии, то я определенно могу понять, почему преобразования должны быть линейными, поскольку однородность требует, чтобы форма преобразования не зависела от положения двух инерциальных систем отсчета в пространстве, это производная от преобразование должно быть независимым от местоположения, т.е. оно должно быть константой. Изотропия пространства также подразумевает, что преобразование должно зависеть не от относительной скорости между двумя системами отсчета, а в лучшем случае от относительной скорости между ними.

Я был бы очень признателен, если бы кто-нибудь мог просветить меня по этому вопросу?

@AccidentalFourierTransform Спасибо за ссылки. Я прочитал их, и я не чувствую, что они полностью отвечают на мой вопрос. Я надеюсь на (полу-) интуитивное объяснение того, почему они должны быть линейными.
Когда вы говорите «вывод», вы имеете в виду что-то конкретное? (например , этот ?) Если это так, вы должны предоставить ссылку.
@EmilioPisanty Извините, я просто имел в виду, что автор обычно (по крайней мере, из заметок, которые я читал) использует этот тип аргумента. Я отредактирую свой пост, чтобы сделать этот момент более ясным.
Достаточно справедливо, но имейте в виду, что существует несколько (очень разных) распространенных способов получения преобразований Лоренца. Если вы не ссылаетесь надлежащим образом, трудно понять, что вы имеете в виду, и это несколько мешает вашему вопросу.
@EmilioPisanty Моя главная проблема по этому поводу заключается в том, как утверждать, что они должны быть линейными, и можно ли это сделать, не предполагая пространственную (и временную) однородность, или их нужно молчаливо предполагать ?!
Следует также упомянуть, что существует много способов построения преобразований Лоренца из постулатов Эйнштейна, но очень трудно определить, ссылаются ли они неявно на изотропию и однородность пространства-времени. Большинство так и делают, но может быть трудно точно определить, где именно (или легко связать эту неявную зависимость с какой-то другой частью доказательства, даже не заметив этого). В конечном счете, вопрос « нужно ли предположить X, чтобы доказать Y» эквивалентен вопросу «согласуется ли Y с ситуациями, где ¬X?», и это, как правило, сложный вопрос.
Одним из подходящих путей для вашего вопроса является Двойная специальная теория относительности (и ссылки в ней).
@EmilioPisanty Спасибо за информацию. Что, по вашему мнению, было бы хорошим аргументом в пользу того, почему преобразования должны быть линейными?

Ответы (2)

В этой прекрасной ссылке автор принимает принцип относительности + однородность + изотропию и выводит общие преобразования координат, которые содержат как преобразования Лоренца, так и преобразования Галилея. Далее он навязывает постулат о постоянстве скорости света, ограничивая преобразования лоренцевым типом.

Значит, тогда нужно предполагать однородность и изотропию?
@user35305 user35305 То, что A и B подразумевают C, не означает, что не может быть независимых утверждений D и E, которые также подразумевают C. Ваш вопрос на самом деле сводится к тому, «согласуются ли постулаты Эйнштейна с неизотропными и/или неоднородное пространство-время?», на который сложно ответить.
@EmilioPisanty Есть ли какая-нибудь статья или что-то еще, где рассматривается этот вопрос («Соответствуют ли постулаты Эйнштейна неизотропному и/или неоднородному пространству-времени?»)?

Ответ на ваш вопрос зависит от того, что вы подразумеваете под «системой отсчета» или «местной лабораторией». Более того, обратите внимание, что оба эти постулата сформулированы в неформальном языке, так что будет довольно много свободы в том, как они переводятся в формальный, аксиоматический язык.

Если ваша местная лаборатория достаточно велика, чтобы охватить измеримые неоднородности, то принцип относительности Галилея (необнаруживаемость движения по инерции внутри собственной системы отсчета и, следовательно, независимость физического закона от движения по инерции) обнаружит движение относительно этих неоднородностей. Например, тензодатчики на вашем космическом корабле достаточно велики, чтобы чувствовать приливные эффекты близлежащей планеты, когда вы проходите мимо последней.

Однако анизотропия отличается - в зависимости от ее первопричины она может не зависеть от движения.

Но это не то, что люди обычно подразумевают под принципом Галилея. Прежде всего, вы должны принять многообразную структуру для вашего локального фрагмента пространства-времени и то, что преобразование между инерциальными системами отсчета может быть описано преобразованиями координат. Таким образом, естественной основой для обсуждения, подобного вашему, будет область многообразия, достаточно малая, чтобы вести себя как касательное пространство/достаточно малая, чтобы любые неоднородности были малы.

Если вы принимаете только многообразия, координаты и преобразования координат, вызванные относительным движением, то принцип Галилея дает вам две вещи:

  1. Он показывает, что преобразование может зависеть только от относительной скорости;
  2. Он завершает групповую структуру для преобразований, усиливая ассоциативность.

На самом деле, чтобы закодировать неформальный принцип Галилея в формальную аксиому для целей вашего обсуждения, вы, вероятно, приняли бы за аксиому, что преобразование должно зависеть только от относительной скорости.

Тогда вам пришлось бы сформулировать ваше предположение об однородности как отдельную формальную аксиому, но, как мы утверждали выше, вы можете дать неформальное обоснование того, что и относительная скорость, и однородность содержатся в принципе Галилея. Таким образом, принцип Галилея в конечном итоге будет закодирован как что-то вроде следующих аксиом:

  1. Аксиома структуры многообразия;
  2. Преобразования между инерциальными системами описываются преобразованиями координат;
  3. Преобразования зависят только от относительной скорости;
  4. Однородность.

Вам нужно что-то еще, чтобы доказать линейность: преобразования координат, вызванные относительным движением по инерции, являются непрерывными функциями координат пространства-времени. Вы могли бы включить непрерывность в пункт 2 выше, но я бы сказал, что это немного дальше духа принципа Галилея - как ясно, все зависит от того, как вы кодируете неформальное утверждение в аксиомы.

Из четырех приведенных выше аксиом вместе с непрерывностью зависимости от координат пространства-времени следует линейность, как я обсуждаю в своем ответе на этот вопрос, заданный здесь на прошлой неделе.

Когда у вас есть линейность (и, следовательно, преобразования описываются линейной матричной группой) и предположение о постоянстве скорости света, вам все равно нужно принять другие вещи, чтобы получить преобразование Лоренца. Постоянство скорости света по существу означает, что собственные векторы 2 × 2 матрицы одномерного преобразования Лоренца имеют вид ( 1 , ± с ) , что, в свою очередь, подразумевает матрицу вида:

Λ ( в ) "=" ( γ ( в ) дельта ( в ) с 2 дельта ( в ) γ ( в ) )

а затем вам нужно принять пространственную изотропию, которая обеспечивает Λ ( − в ) "=" Λ ( в ) − 1 (так называемый релятивистский принцип взаимности, и он означает, что разгоны в противоположных направлениях являются одним и тем же преобразованием с изменением знака направления в соответствующих элементах). Затем вам нужно предположить причинно-следственную связь вдобавок к этому, чтобы перейти к преобразованию Лоренца: см., например, «Из групповых постулатов» на странице Википедии «Выводы преобразований Лоренца», чтобы увидеть механику того, как это можно сделать. .

Как вариант, можно забыть о втором постулате (постоянство с ) и вместо этого предположить изотропию, непрерывность преобразования в его зависимости от относительной скорости и причинность, чтобы сделать вывод о существовании скорости, которая всегда измеряется одинаково во всех инерциальных системах отсчета (почти - эти предположения также допускают преобразования Галилея, которые исключаются экспериментально). Это подход Игнатовского , и я обсуждаю его в своем ответе здесь .

Однородность и изотропия и вывод преобразований Лоренца
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v