Ищу книгу по строгому анализу

Текст Рудина хорош и в нем есть почти все, что нужно. Но я чувствую, что Рудин + какая-то другая книга могут лучше подойти для ваших целей.

• Анализ Теренса Тао-1 описывает построение$\mathbb{R}$очень хорошо. Прочитайте первый ответ на вопрос, который я задал некоторое время назад, здесь - Хороший первый курс в книге реального анализа для самостоятельного изучения.
• У Рудина есть строгое развитие пределов, непрерывности и т. д., но то же самое можно сказать и о Бартле, «Введении в реальный анализ» Шерберта и «Элементарном реальном анализе» Томаса Брукнера. Последние два имеют дело только с одной переменной и содержат действительно элементарные примеры доказательства пределов, непрерывности с использованием$\epsilon-\delta$определения, я не помню, чтобы в тексте Рудина были такие решаемые примеры. Стоит проверить на мой взгляд.
• У Рудина, без сомнения, есть очень хорошие упражнения, и если вы застрянете на каком-либо из них, есть решения, доступные онлайн в формате pdf, и очень полезные сопутствующие заметки - здесь для лучшего понимания теории с набором упражнений в конце каждой главы, готовящим вас к Рудину. упражнения.
  Хотя чтение иногда может быть очень разочаровывающим из-за отсутствия примеров. Я обычно советую людям сначала прочитать более мягкий текст, такой как Шерберт, а затем вернуться к нему.
  Сначала просмотрите все книги, и если вы чувствуете, что готовы к Рудину, дерзайте.
• После того, как вы закончите с любым аналитическим текстом, который вы решите прочитать, этот набор из трех задачников, опубликованный AMS, очень хорош. Подробнее об этом читайте здесь — Задачи по математическому анализу .
• Другие хорошие книги, о которых я слышал, но у меня лично нет опыта в студенческом анализе Сержа Ланга, «Реальный математический анализ» Чарльза Пью, «Анализ понимания» Стивена Эбботта.

Причина, по которой я никогда не напишу учебник по математическому анализу, заключается в том, что «Исчисление » Майкла Спивака — это шедевр, написанный на уровне, которого я никогда не смог бы достичь.

Если вы находите это слишком сложным, я предлагаю вам сначала прочитать другую книгу Спивака: « Автостопом по исчислению» .

«Исчисление» Спивака по-прежнему остается лучшей книгой для строгого обоснования исчисления и введения в математический анализ. В последнюю главу он включает очень интересные темы, такие как построение трансцендентного числа и доказательство трансцендентности e, а также доказательство того, что$\pi$иррационально. Он также включает в Приложении строгое построение множества действительных чисел разрезами Дедекинда.

На мой взгляд, это лучшая книга по математическому анализу, если кто-то хочет хорошо понять$\delta-\varepsilon$определения, и иметь возможность решать сложные задачи, которые требуют этих определений. Одной из моих любимых задач Спивака такого рода является следующая:

Позволять$f:\mathbb R\to\mathbb R$быть функцией$($не обязательно непрерывный$)$, который имеет реальный предел в каждой точке. Набор

Однако в книге Спивака рассматривается только одномерное исчисление.

Второе чтение, сразу после «Спивак: Принципы математического анализа » В. Рудина. Помимо хорошего введения в Теорию метрических пространств (чтобы узнать, что такое открытое, замкнутое, компактное, совершенное и связное множество), имеется ряд результатов о сходимости последовательностей функций, многомерном исчислении, введении$k-$формы и введение в меру Лебега.

В качестве продолжения следует рассмотреть великую маленькую классику « Исчисление многообразий» Спивака , в которой дается элегантное и краткое введение в$k-$формы и доказательство теоремы Стокса в евклидовых пространствах и многообразиях.

Я очень рекомендую Real Mathematical Analysis Пью. Я использовал его для своего первого знакомства с строгим анализом, и он мне очень понравился. В частности, я думаю, что это хорошая альтернатива Рудину, поскольку в ней анализ на том же уровне строгости гораздо более удобочитаем.

В нем есть отличное введение в реальный анализ с одной переменной и хорошее (но не самое лучшее) введение в многопараметрический анализ. В частности, его трактовка топологии намного лучше, чем у Рудина, и имеется огромное количество задач всех уровней сложности (1 предложение доказательство бывших задач Патнэма).

Предупреждаю, его стиль немного причудлив, что, я знаю, некоторым людям не нравится. Для меня это было плюсом, но не для всех.

Если Пью/Рудин слишком быстры для вас, я также рекомендую «Анализ понимания» Эбботта как очень хорошо написанное введение, которое делает вещи медленнее и вносит больше деталей, чем Рудин/Пью.

Владимир Александрович Зорич Математический анализ I и II .

Я думаю, что «Математический анализ» Апостола довольно хорош для того, что вы описываете, но вы должны увидеть здесь: Рудин или Апостол для обсуждения его достоинств и недостатков.

Я удивлен, что никто не упомянул Курс чистой математики Г. Х. Харди. Эта книга, на мой взгляд, произведение искусства. Он считается классикой по этой теме и имеет все функции, которые вы просите, и многое другое. В сети много отзывов об этой книге, в том числе и эта статья в Википедии , так что новый писать не буду.

«Путь анализа» Стрихарца был моим учебником для студентов. Эта книга содержит много объяснений и очень хорошо дает интуицию. Таким образом, он необычайно хорошо подходит для самостоятельного изучения.

Не удивляйтесь и не стыдитесь, если вы не в состоянии самостоятельно продираться через справочные тексты, такие как Рудин. Они непригодны для самостоятельного изучения большинством людей.

Шрей упомянул об этом в конце своего ответа, но я могу поручиться за « Анализ понимания» Стивена Эбботта , за которым следует Рудин.

Предыстория: Я прочитал и выполнил все практические задачи для Понимания Анализа примерно за 2-3 недели, а затем справиться со зверем, метко названным Малышом Рудином , было не так уж сложно. Это хорошее сочетание разговорной речи и строгости, которая служит хорошей книгой для начального и среднего уровня. Это также относительно дешево, если вы заказываете его на Amazon. Единственный недостаток, о котором я могу думать, заключается в том, что решения практических проблем не предоставляются, что не так уж важно для M.SE. Независимо от уровня ваших навыков, я определенно рекомендую эту книгу как хорошее введение в анализ.

Я призываю вас учиться на маленьком Рудине, он может быть лаконичным и сухим, но строгим и полным. Он содержит построение действительных чисел из рациональных чисел через разрезы Дедекинда (Приложение 1.8). Глава 2 содержит элементы топологии в метрических пространствах (основополагающее в анализе понятие компактности). В главах 3, 4, 5 и 6 есть пределы, последовательности, последовательности Коши, ряды, непрерывность, вывод, теория интегрирования. В конце каждой главы есть много сложных задач. Я объединил исследование Рудина с книгами Апостола (Исчисление, том 1 и 2) и лекциями Фрэнсиса Су по анализу ( https://www.youtube.com/playlist?list=PL0E754696F72137EC ).

Поскольку вы планируете пройти курсы анализа через несколько месяцев, а не получить один из стандартных текстов по реальному анализу, которые предложили другие, я рекомендую ознакомиться с « Основами абстрактного анализа» Эндрю М. Глисона .

Вот несколько комментариев, которые я написал о книге Глисона в этом посте на sci.math от 3 января 2001 года :

Я читал отрывки из издания 1966 года на протяжении всего обучения. Эта книга ОЧЕНЬ тщательно написана и ВСЕ разработано с нуля. Насколько я помню, книга начинается с таблиц истинности и логики высказываний, затем переходит к логике предикатов, затем к теории множеств, затем к аксиомам Пеано для натуральных чисел и их модели в теории множеств ZF, затем к конструкциям целые числа, рациональные числа, действительные числа и комплексные числа ... Глисон дает много тщательно написанных объяснений, но каким-то образом ему все же удается дойти до таких вещей, как интегральная формула Коши.

Следующее взято из статьи в Википедии об Эндрю М. Глисоне, процитированной «рецензентом» книги Глисона:

Это самая необычная книга... Каждый работающий математик, конечно, знает разницу между безжизненной цепочкой формализованных предложений и «ощущением» математической теории, которое есть (или пытается получить), и, вероятно, согласится, что помощь студенту достичь этого взгляда «изнутри» — конечная цель математического образования; но обычно он отказывается от любых попыток добиться успеха, кроме как посредством устного обучения. Оригинальность автора состоит в том, что он попытался достичь этой цели в учебнике, и, по мнению рецензента, ему это почти невыполнимое задание удалось на удивление хорошо. Большинство читателей, вероятно, будут в восторге (как и рецензент), обнаружив страницу за страницей кропотливых обсуждений и объяснений стандартных математических и логических процедур.

Построение обычных систем счисления очень подробно и ясно представлено в классической теории множеств , которая также является отличным первым знакомством с ZFC . Убедитесь, что вы немного изучили теорию категорий после того, как некоторое время поиграли с ZFC, чтобы помочь вам по-новому взглянуть на вещи, которые несколько противоречат мировоззрению ZFC. Книга Ловера «Наборы для математики» хороша в этом отношении, и ее можно скачать бесплатно.

Вот выдержка из моего списка рекомендованных книг. Я думаю, что самая большая ошибка, которую может совершить новичок в анализе, — это быть амбициозным в своей первой книге. Найдите самую легкую строгую книгу и освойте ее. Тогда получите немного более твердый. Повторить.

«Еще одно введение в анализ» Виктора Брайанта — это книга, которую мне хотелось бы иметь, когда я изучал анализ, и если бы я должен был написать книгу на эту тему, я бы написал ее именно так (за исключением того, что я выиграл а не потому, что Брайант уже сделал это.) Брайант учит анализу с большим количеством мотивации и примеров. Читатель, которого он имеет в виду, знает исчисление, но не видит сути анализа. Вся математика (или должна быть!) изобретена для решения задач, и Брайант никогда не забывает об этом и объясняет, почему и как, представляя каждую теорему. Если вы находите анализ слишком сухим, эта книга для вас.

«Математический анализ: прямой подход» К.Г. Бинмора. Если вы находите скачок от Брайанта к Рудину слишком большим, то Бинмор — хороший промежуточный выбор. На самом деле это первая книга по анализу, которую я прочитал — Брайанта в то время не было.

«Принципы математического анализа» Уолтера Рудина. Это отличная вторая книга по анализу. Он начинается с первых принципов, но более сух, чем Брайант. Поэтому сначала прочитайте Брайанта, чтобы получить некоторое представление о том, что происходит, а затем проработайте Рудина, чтобы получить все детали и узнать достаточно, чтобы подготовиться к теории меры.

(полный список есть на markjoshi.com)

Книга Этана Д. Блоха «Реальные числа и реальный анализ» — это фантастическая книга, которую я использовал в колледже для занятий по реальному анализу, которую вел сам профессор Блох. Я настоятельно рекомендую его, и если вам нужен список некоторых незначительных исправлений, пожалуйста, не стесняйтесь обращаться к нам.

Я бы порекомендовал две книги. Первый — «Вводный реальный анализ» Фрэнка Дангелло и Майкла Сейфрида. Второй — «Введение в анализ» Г. Г. Билодо, П. Р. Ти и Г. Э. Кио. Эти две книги подходят для введения в анализ с одной переменной.

Если хотите, поищите издание « Advanced Calculus» Уотсона Фулкса или «Advanced Calculus» Р. Крейтона Бака.

Наконец, взгляните на «Введение в реальный анализ» Уильяма Ф. Тренча. Вы можете получить его из Интернета.

Я должен порекомендовать книгу Итана Блоха « Реальные цифры и реальный анализ» . Больше нечего сказать, просто посмотрите полное меню и подробное предисловие от автора здесь ! Это неплохая отправная точка для анализа.

ps: Эта книга показала удивительные результаты при работе с реальными числами, и анализ одной переменной, которую я не видел ни в одной известной аналитической книге на Amazon, может достичь своего горизонта; однако в этой книге не рассматривается анализ нескольких переменных. Если вы хотите изучить последнее, вам нужно найти другую книгу.

Из предисловия:

Несколько входов

Особенно отличительной чертой этого текста является то, что он предлагает три способа приступить к изучению действительных чисел.
$\ \ $Запись 1, дающая наиболее полное представление о действительных числах, начинается с постулатов Пеано для натуральных чисел, а затем приводит к построению целых, рациональных и действительных чисел, доказывая основные свойства каждого набора чисел. номера по пути.
$\ \ $Запись 2, более эффективная, чем Запись 1, но более подробная, чем Запись 3, пропускает аксиоматическое рассмотрение натуральных чисел и вместо этого начинается с аксиоматического рассмотрения целых чисел. Сначала показано, что внутри целых чисел находится копия натуральных чисел, а затем построены рациональные и действительные числа и доказаны их основные свойства.
$\ \ $Запись 3, которая является наиболее эффективным подходом к действительным числам, начинается с аксиоматической обработки действительных чисел. Показано, что внутри действительных чисел находятся натуральные, целые и рациональные числа. Этот подход используется в большинстве современных введений в реальный анализ, хотя мы даем немного больше подробностей об обычных числах, целых числах и рациональных числах.
$\ \ $Существование трех входов в действительные числа обеспечивает большую гибкость в использовании этого текста. Для первого курса реального анализа, будь то для математики

«Анализ по истории» Эрнста Хайрера и Герхарда Ваннера может быть хорошим выбором. Книга не только достаточно строгая, но и очень увлекательная.

я мог бы порекомендовать

1. Введение в реальный анализ Бартла и Шерберта
2. Математический анализ Бинмора
3. Введение в классический реальный анализ Стромберга

Первая книга представляет собой очень строгое введение в реальный анализ. Результаты представлены для$\mathbb{R}$. Стиль находится где-то между исчислением Спивака и вышедшим из печати анализом Бартла .

Вторая книга выглядит сборником конспектов лекций. Тон разговорный, если вам нравятся такие книги. В книге также представлены решения упражнений.

Третий мой любимый. Он не предполагает каких-либо предварительных знаний. Все книги по реальному анализу, которые я видел до сих пор, предполагают, что вы знакомы с тригонометрическими функциями, числами Эйлера и т. д. Стромберг никогда не использует эти математические объекты перед определением. На мой взгляд, он превосходит классический текст Рудина, он же Малыш Рудин. Чтобы понять, что я имею в виду, сравните трактовку множеств Кантора в обеих книгах. На самом деле, сравните Стромберга с любой настоящей аналитической книгой, и вы поймете разницу.

Я хотел бы добавить свое мнение о том, как изучать анализ, будучи студентом-математиком.

Увидев так много учебников по элементарному анализу, я думаю, что ни один учебник по анализу не может превзойти следующие три, расположенные в алфавитном порядке:

1. Анализ Аманна и Эшера,
2. Математический анализ Зорича,
3. Реальный математический анализ Пью.

Описание первого и второго учебников: Эти две книги не только охватывают типичные аналитические концепции, но и строго охватывают исчисление, которое часто игнорируется в других учебниках по анализу. Таким образом, вы можете сразу приступить к чтению любой из них, не зная математических расчетов на уровне колледжа.

Кроме того, они охватывают многие сложные аналитические концепции, которые обычно не рассматриваются в других учебниках по анализу. Например, в обоих учебниках есть освещение теории многообразий.

Однако эти два учебника отличаются по стилю. Анализ Аманна пытается представить каждое понятие в его общности. Например, нет представления множественных интегралов Римана. Скорее, он охватывает современную (и более полную) версию интегрирования Лебега, которая применяется для представления некоторых современных аспектов анализа Фурье. Напротив, учебник Зорича обычно представляет концепции в классическом стиле, если классическое изложение считается достаточным для применимости в различных разделах математики и физики. Например, он охватывает теорию кратных интегралов Римана без упоминания теории интегралов Лебега, и со временем следует классическое представление анализа Фурье. Это не ограничение, так как ожидается, что читатель изучит такие общие темы в других курсах.

Также может быть полезно знать, что учебник Аманна имеет полностью математический склад ума, в то время как учебник Зорича рассчитан не только на читателей с математическим складом ума, но и на студентов-физиков. Поэтому кажется, что учебник Аманна труднее для восприятия, чем учебник Зорича.

Между этими двумя учебниками также есть небольшая разница в содержании. В то время как многие аналитические темы рассматриваются в них обоих (иногда по-разному, как упоминалось выше в отношении теории интеграции), есть темы, которые рассматриваются в одном, но не рассматриваются в другом. Например, в учебнике Аманна комплексный анализ интегрирован, а в учебнике Зориха он отсутствует. В учебнике Зориха также есть глава об асимптотических разложениях, которой нет в учебнике Аманна.

Наконец, обе книги строго и «красиво» преподают анализ. Эстетический аспект иногда игнорируется во многих других математических и научных книгах, которые своей сухостью могут обескуражить учащегося. Кстати, в учебнике Аманна только первая глава сухая. Но эта (неизбежная) сухость оправдывается в последующих главах и потому не мешает его красоте.

Описание третьего учебника: Это еще один учебник по тщательному анализу, который охватывает многие основные аналитические концепции, которые необходимо знать студенту, изучающему математику. Этот учебник не учит исчислению, поэтому предварительный курс исчисления поможет читателю лучше понять новые строгие концепции. В частности, другие учебники, упомянутые выше, имеют более полный охват.

Он делает упор на визуализацию при приближении к математическим понятиям, поэтому читатель увидит множество полезных картинок, связанных с понятиями, которые помогут в понимании материала. Кроме того, в нем много сложных задач, которые помогут читателю подготовиться к важным экзаменам. Именно этот подход, смешанный с проницательностью и опытом автора, сделал этот учебник таким «прекрасным» чтением.

Почти все учебники по математическому анализу охватывают те же темы, что и в учебнике Пью, и большинство университетов включают одну из них в свои учебные программы. Но самым проницательным и поучительным среди них выделяется учебник Пью.

Резюме: Любая из этих трех книг поможет студенту не только учиться, но и получать удовольствие от анализа. Предварительный курс исчисления рекомендуется, если читатель решит прочитать учебник Пью, в то время как с другими учебниками в этом нет необходимости.

Я бы порекомендовал вам вместе с другом взять в руки книгу Рудина и попробовать прочитать ее вместе, не спеша, тиражируя и демонстрируя друг другу его корректуру. Рудин — отличная книга, но иногда она разочаровывает, но не пытайтесь обойти ее стороной. Кроме того, это также послужит эталоном вашего понимания общих методов анализа. Когда я впервые попробовал Рудина, я находил его очень трудным, но через год, когда я оглядывался на него, я мог решить большую его часть очень легко. Другим огромным преимуществом, которое я ощутил, работая с Рудниным, было то, что теперь, когда я читаю какой-нибудь расширенный текст по функциональному или гармоническому анализу и там есть какая-нибудь лемма, я много раз могу вспомнить, что он сказал что-то подобное в базовом контексте, используя очень похожие выражения. тип аргумента.

Тл: Доктор; Найдите товарища, сделайте рудин и не сдавайтесь.

Потерпи. Если вы продолжите заниматься математикой, на третьем курсе вы пройдете курс «Расширенное исчисление», который будет намного более строгим. То, что вы прошли, — это вводный курс, предназначенный для предоставления математических инструментов для физики, химии, инженерии и других технических профессий. Потерпи; станет интереснее. НАМНОГО интереснее, как только нематематики выйдут из класса.

** Отказ от ответственности: я зарегистрированный профессиональный инженер в Калифорнии.

У моего старого профессора из Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе, Д.Э. Вейсбарта, есть книга «Введение в реальный анализ», которая была довольно хорошей — просто чтобы перечислить что-то другое.

Найдите его здесь .

Недавно опубликованные книги MAA также имеют хорошее название: https://books.google.com/books?id=4hbRoAEACAAJ&printsec=frontcover&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false.

На самом деле я ищу электронную почту DE Weisbart, поэтому, если вы ее знаете, оставьте комментарий (не вместе с его электронной почтой, просто что-нибудь, чтобы мы могли обсудить ее).

Самая строгая книга по математическому анализу, которую я когда-либо находил, — это книга Картана «Дифференциальное исчисление» Анри Картана и его вторая часть «Дифференциальные формы».

Это действительно строгое рассмотрение идей исчисления с точки зрения анализа, трудное для понимания в начале, но затем являющееся хорошим введением в дифференцируемые многообразия.

Я предлагаю вам взглянуть на 3 тома Герберта Аманна и Иоахима Эшера . Изложение строгое, не многословное, никаких предпосылок не требуется, строит анализ с нуля, т.е. вы будете использовать только те аксиомы, теоремы и определения, которые были разработаны ранее. Ничто в книге не воспринимается как должное. Действительно хорошее введение в анализ в НЕМЕЦКОМ СТИЛЕ.