В итоге я использовал решение Кристера Свана из его блога: http://mmoarch.blogspot.se/2012/05/computing-space-travel.html .

Траектория аппроксимируется, а затем оптимизируется методом деления пополам. Почти идеальный результат обычно достигается после 10 итераций. См. полное решение (реализация Java) по адресу: http://mmoarch.blogspot.se/2012/05/computing-space-travel-implementation.html .

Проблема. На объект массы$m$находится в$\vec{r}_{A}=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\end{pmatrix}$со скоростью$\vec{v}_{A}=\begin{pmatrix}v_{A} & 0 & 0\end{pmatrix}$и должен достичь точки$\vec{r}_{B}=\begin{pmatrix}d_{x} & d_{y} & 0\end{pmatrix}$со скоростью$\vec{v}_{B}=\begin{pmatrix}v_{B}\cos\theta & v_{B}\sin\theta & 0\end{pmatrix}$в минимальное время, когда величина ускорения ограничена$\left|\vec{a}\right|\leq g$.

Давайте приступим к общему решению и попробуем оптимизировать его в конце. Я предлагаю процесс из пяти шагов (вдохновленный вождением гоночного автомобиля). Я меняю обозначения, чтобы лучше отслеживать шаги. Также вектор направления в A равен$\vec{e}_{A}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}$а в Б есть$\vec{e}_{B}=\begin{pmatrix}\cos\theta & \sin\theta & 0\end{pmatrix}$. Также нормальные векторы$\vec{n}_{A}=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\end{pmatrix}$и$\vec{n}_{B}=\begin{pmatrix}-\sin\theta & \cos\theta & 0\end{pmatrix}$, где$\theta$требуемый угол поворота между A и B . Это можно найти по$\cos\theta=\pm\frac{\vec{v}_{A}\cdot\vec{v}_{B}}{\left|\vec{v}_{A}\right|\left|\vec{v}_{B}\right|}$. Чтобы найти использование знака${\rm sign}\left(\hat{k}\cdot\left(\vec{v}_{A}\times\vec{v}_{B}\right)\right)$чтобы увидеть, нужно ли вам повернуть налево или направо.

1. Разогнаться до максимальной скорости$v_{1}$по прямой от начальной точки$\vec{r}_{0}=\vec{r}_{A}$и скорость$\vec{v}_{0}=v_{A}\vec{e}_{A}$. Конечная скорость$\vec{v}_{1}=v_{1}\vec{e}_{A}$, позиция$\vec{r}_{1}=\vec{r}_{A}+\frac{v_{1}^{2}-v_{A}^{2}}{2g}\vec{e}_{A}$, и время$t_{1}=\frac{v_{1}-v_{A}}{g}$.

2. Замедление до желаемой скорости поворота$v_{C}$по прямой. Конечная скорость$\vec{v}_{2}=v_{C}\vec{e}_{A}$, позиция$\vec{r}_{2}=\vec{r}_{1}+\frac{v_{1}^{2}-v_{C}^{2}}{2g}\vec{e}_{A}$, и время$t_{2}=t_{1}+\frac{v_{1}-v_{C}}{g}$.

3. Поверните, чтобы выровнять свою скорость с конечной скоростью$\vec{v}_{B}$и положение вдоль прямой линии, определяемой конечным местоположением$\vec{r}_{B}$и направление скорости. Радиус поворота$r=\frac{v_{C}^{2}}{g}{\rm sign}(\theta)$. Конечная скорость$\vec{v}_{3}=v_{C}\vec{e}_{B}$, позиция$\vec{r}_{3}=\vec{r}_{2}+\left(\vec{n}_{A}-\vec{n}_{B}\right)\frac{v_{C}^{2}}{g}{\rm sign}(\theta)$, и время$t_{3}=t_{2}+\frac{v_{C}}{g}\theta$.

4. Разогнаться до максимальной скорости$v_{4}$по прямой. Конечная скорость$\vec{v}_{4}=v_{4}\vec{e}_{B}$, позиция$\vec{r}_{4}=\vec{r}_{3}+\frac{v_{4}^{2}-v_{C}^{2}}{2g}\vec{e}_{B}$, и время$t_{4}=t_{3}+\frac{v_{4}-v_{C}}{g}$.

5. Замедлить до конечной точки$\vec{r}_{B}$и скорость$\vec{v}_{B}=v_{B}\vec{e}_{B}$на прямой линии. Конечная скорость$\vec{v}_{B}$, позиция$\vec{r}_{B}=\vec{r}_{4}+\frac{v_{4}^{2}-v_{B}^{2}}{2g}\vec{e}_{B}$, и время$t_{B}=t_{4}+\frac{v_{4}-v_{B}}{g}$.

Общее время

$$t=\frac{1}{g}\left(2v_{1}+2v_{4}+\left(\theta-2\right)v_{C}\right)-\frac{1}{g}\left(v_{A}+v_{B}\right)$$ где $v_{1}$, $v_{4}$и $v_{C}$неизвестны. Окончательная позиция $$d_{x} = \frac{2v_{1}^{2}-v_{A}^{2}-v_{C}^{2}}{2g}+\frac{2v_{4}^{2}-v_{B}^{2}-v_{C}^{2}}{2g}\cos\theta+\frac{v_{C}^{2}}{g}\left|\sin\theta\right|$$ $$d_{y}=\frac{2v_{4}^{2}-v_{B}^{2}-v_{C}^{2}}{2g}\sin\theta+\frac{v_{C}^{2}}{g}\left(1-\cos\theta\right){\rm sign}\theta$$

Конечная позиция используется для нахождения скоростей$v_{1}$и$v_{4}$

$$v_{1}=\sqrt{\frac{v_{A}^{2}}{2}+\frac{v_{C}^{2}}{2}+\frac{g\left(d_{x}\sin\theta-d_{y}\cos\theta\right)}{\sin\theta}-v_{C}^{2}\left|\tan\frac{\theta}{2}\right|}$$ $$v_{4}=\sqrt{\frac{v_{B}^{2}}{2}+\frac{v_{C}^{2}}{2}+\frac{g\; d_{y}}{\sin\theta}-v_{C}^{2}\left|\tan\frac{\theta}{2}\right|}$$

В конце концов, время есть функция$v_{C}$только, но оптимизировать эту функцию непросто. Рассмотрим решение следующих

$$\frac{{\rm d} t}{{\rm d} v_C} = \frac{1}{g} \left( 2 \frac{{\rm d} v_1}{{\rm d} v_C} + 2 \frac{{\rm d} v_4}{{\rm d} v_C} + \theta-2 \right) = 0$$