Используйте мой пример, чтобы объяснить, почему петлевая диаграмма не встречается в классическом уравнении движения?

1. Пертурбативное расширение. ОП$\phi^4$Теоретический пример — это частный случай. Рассмотрим общее действие вида

   $$S[\phi] ~:=~\underbrace{S_2[\phi]}_{\text{quadratic part}} + \underbrace{S_{\neq 2}[\phi]}_{\text{the rest}}, \tag{1}$$ с невырожденной квадратичной частью$^1$ $$S_2[\phi] ~:=~\frac{1}{2} \phi^k (S_2)_{k\ell} \phi^{\ell} . \tag{2}$$ Остальные$^2$ $S_{\neq 2}=S_0+S_1+S_{\geq 3}$содержит постоянные члены$S_0$термины головастик$S_1[\phi]=S_{1,k}\phi^k$и условия взаимодействия$S_{\geq 3}[\phi]$.

2. Функция раздела$Z[J]$можно формально записать как

   $$\begin{align} Z[J] ~:=~~~& \int {\cal D}\frac{\phi}{\sqrt{\hbar}}~\exp\left\{ \frac{i}{\hbar}\left(S[\phi] +J_k \phi^k \right)\right\} \cr ~\stackrel{(1)}{=}~~~& \exp\left\{\frac{i}{\hbar} S_{\neq 2}\left[ \frac{\hbar}{i} \frac{\delta}{\delta J}\right] \right\}\cr &\int {\cal D}\frac{\phi}{\sqrt{\hbar}}~\exp\left\{ \frac{i}{\hbar}\left(S_2[\phi] +J_k \phi^k \right)\right\} \cr \stackrel{\text{Gauss. int.}}{\sim}&~ {\rm Det}\left(\frac{1}{i} (S_2)_{mn}\right)^{-1/2}\cr &\exp\left\{\frac{i}{\hbar} S_{\neq 2}\left[ \frac{\hbar}{i} \frac{\delta}{\delta J}\right] \right\} \cr &\exp\left\{- \frac{i}{2\hbar} J_k (S_2^{-1})^{k\ell} J_{\ell} \right\}, \end{align}\tag{3}$$ после интегрирования по Гауссу. Здесь$^1$ $$G^{k\ell}~=~-(S_2^{-1})^{k\ell} \tag{4}$$ является свободным распространителем. RHS уравнения. (3) представляет собой сумму всех$^3$Диаграммы Фейнмана, построенные по вершинам, свободным пропагаторам и внешним источникам$J_k$.

3. Уравнения Эйлера-Лагранжа (EL)$^4$

   $$- J_k ~\approx~\frac{\delta S[\phi]}{\delta \phi^k}~\stackrel{(1)+(2)}{=}~ (S_2)_{k\ell}\phi^{\ell} +\frac{\delta S_{\neq 2}[\phi]}{\delta \phi^k} \tag{5}$$ можно превратить в уравнение с фиксированной точкой$^5$ $$\phi^{\ell}~\approx~-(S_2^{-1})^{\ell k}\left( J_k + \frac{\delta S_{\neq 2}[\phi]}{\delta \phi^k} \right),\tag{6}$$ чьи повторные итерации генерируют (направленные корневые) деревья (с$\phi^{\ell}$как корень и$J$s & tadpoles как листья), в отличие от петлевых диаграмм, ср. Расчет ОП. Это отвечает на вопросы ОП.

Наконец, давайте упомянем ниже некоторые, надеюсь, полезные факты, выходящие за рамки уровня дерева.

I) Теорема о связанных кластерах . Производящий функционал для связных диаграмм имеет вид

$$W_c[J]~=~\frac{\hbar}{i}\ln Z[J]. \tag{7}$$

Для доказательства см., например , этот пост Phys.SE. Поэтому достаточно изучить связные диаграммы.

II )$\hbar$/цикл-расширение. Предположим, что$S[\phi]$действие (1) не$^6$явно зависеть от$\hbar$. Тогда порядок$\hbar$на связной диаграмме с$E$внешние ноги$^7$это число$L$независимых циклов, т.е. количество независимых$4$-волновой вектор$^8$интеграции.

Доказательство. Мы следуем здесь Ref. 1. Пусть$I$– количество внутренних пропагаторов и$V$количество вершин.

С одной стороны, для каждой вершины существует 4-векторная дельта-функция Дирака. За исключением 1 вершины, потому что внешние ветви уже удовлетворяют полному сохранению волнового вектора. (Напомним, что трансляционная инвариантность пространства-времени подразумевает, что каждая связная диаграмма Фейнмана в пространстве волновых векторов пропорциональна дельта-функции Дирака, обеспечивающей полное сохранение четырех волновых векторов.)$V$поэтому вершины дают только$V-1$ограничения среди$I$интегрирования волнового вектора. Другими словами, количество независимых петель равно$^9$

$$L~=~I-(V-1). \tag{8}$$ С другой стороны, следует$^{10}$из правой части ур. (3) что у нас есть один$\hbar$для каждого внутреннего пропагатора, ни одного для каждой внешней ножки и один$\hbar^{-1}$для каждой вершины. Существует также один дополнительный фактор$\hbar$от прав. экв. (7). В целом, мощность$\hbar$s связной диаграммы $$\hbar^{I-V+1}~\stackrel{(8)}{=}~\hbar^{L},\tag{9}$$ т.е. равно числу$L$петель.$\Box$

III) В частности, производящий функционал связных диаграмм

$$W_c[J]~=~W_c^{\rm tree}[J]+W_c^{\rm loops}[J]~\in~ \mathbb{C}[[\hbar]]\tag{10}$$ представляет собой степенной ряд в$\hbar$, т. е. не содержит отрицательных степеней$\hbar$. Напротив, статистическая сумма $$Z[J]~=~\underbrace{\exp(\frac{i}{\hbar}W_c^{\rm tree}[J])}_{\in \mathbb{C}[[\hbar^{-1}]]}~\underbrace{\exp(\frac{i}{\hbar}W_c^{\rm loops}[J])}_{\in \mathbb{C}[[\hbar]]}\tag{11}$$ представляет собой ряд Лорана в$\hbar$.

Использованная литература:

1. C. Ициксон и Дж. Б. Зубер, QFT, 1985, раздел 6-2-1, стр. 287-288.

--

$^1$Мы используем сокращенную запись ДеВитта, чтобы не загромождать запись. Если мы расшифруем ур. (2) во всей красе он читается

$$S_2[\phi]~=~\frac{1}{2}\int\!d^dx\int\!d^dy~\phi^{\alpha}(x)~(S_2)_{\alpha\beta}(x,y)~\phi^{\beta}(y)\tag{12}$$ после возможного интегрирования по частям. Здесь ядро ​​интеграции обычно имеет вид $$(S_2)_{\alpha\beta}(x,y)~=~\delta_{\alpha\beta}~(\Box-m^2)\delta^d(x-y)\tag{13}$$ с$(-,+,...,+)$Соглашение о знаках Минковского. Если мы наложим соответствующие граничные условия в уравнении. (4), обратное ядро ​​интегрирования $$(S_2^{-1})^{\alpha\beta}(x,y)~=~\delta^{\alpha\beta}~(\Box-m^2)^{-1}\delta^d(x-y)~=~-G^{\alpha\beta}(x,y)\tag{14}$$ минус функция Грина $$(-\Box+m^2)G^{\alpha\beta}(x,y)~=~\delta^{\alpha\beta} ~\delta^d(x-y)\tag{15}$$ с преобразованием Фурье $$\widetilde{G}^{\alpha\beta}(k)~=~\frac{\delta^{\alpha\beta}}{k^2+m^2-i\epsilon}.\tag{16}$$

$^2$Если мы разделим действие

$$S[\phi] ~=~\underbrace{S_1[\phi]+S_2[\phi]}_{\text{free part}}+\underbrace{S_{\neq 12}[\phi]}_{\text{the rest}}\tag{17}$$ (путем включения головастиков в свободную часть), то фактор пропагатора в правой части экв. (3) становится $$\exp\left\{- \frac{i}{2\hbar} (S_{1,k}+J_k) (S_2^{-1})^{k\ell} (S_{1,\ell}+J_{\ell}) \right\}.\tag{18}$$ И наоборот, мы могли бы формально разрешить квадратичные члены в$S_{\neq 2}$также часть, например, если мы хотим рассматривать массовый член как 2-вершинное взаимодействие. Это, конечно, разрушило бы логику нижнего индекса обозначения.$S_{\neq 2}$, но это приемлемый приз для оплаты :)

$^3$Гауссовский определяющий фактор${\rm Det}\left(\frac{1}{i} (S_2)_{mn}\right)^{-1/2}$(которую мы обычно игнорируем) интерпретируется как диаграммы Фейнмана, построенные только из свободных пропагаторов без вершин, хотя точная интерпретация весьма тонка. Например, обратите внимание, что если мы реклассифицируем массовый член в свободном пропагаторе как$2$-vertex-interaction массовый вклад смещается от определяющего фактора к части взаимодействия в уравнении. (3).

$^4$ The $\approx$символ означает равенство по модулю eqs. движения.

$^5$Фактически, ур. (6) можно рассматривать как операду . Немного упрощая, в то время как оператор имеет один вход и один выход, операда может иметь несколько входов, но все же только один выход. Операды могут быть составлены вместе и, таким образом, образуют (направленное корневое) дерево (с единственным выходом, являющимся корнем).

$^6$Для того, чтобы сохранить действие$S$без явного$\hbar$-зависимость, нам, возможно, придется соответствующим образом переопределить параметры массы $m^{\prime}=\frac{mc}{\hbar}$, константы связи $e^{\prime}=\frac{e}{\hbar}$и т. д. Если условия взаимодействия в действии$S$зависит от$\hbar$, то диаграмма будет содержать обычную петлевую мощность$L$из$\hbar$s плюс ряд степеней$\hbar$из соответствующих вершин.

$^7$Мы предполагаем, что источники$J_k$либо лишены диаграммы Фейнмана, либо являются дельта-функциями в пространстве волновых векторов, так что внешние ветви несут фиксированные 4-волновые векторы.

$^8$Чтобы не вводить дополнительные факторы$\hbar$при преобразовании Фурье будем работать с 4 -волновым вектором $k$а не 4-импульс$p=\hbar k$.

$^9$Если диаграмма Фейнмана плоская, то она представляет собой полигональную сетку диска , т . е. ее эйлерова характеристика равна$\chi=1$. Сравнивая с ур. (8), мы видим, что число$L$независимых петель — это число граней.

$^{10}$RHS уравнения. (3) получается, что пропагатор, прикрепленный к$n$источников вносит свой вклад с фактором$\hbar^{1-n}$, где$n\in\{0,1,2\}$.

Мои слова не помогут ответить на вопрос, но я просто хочу прояснить аналогию между классической теорией возмущений и амплитудами уровня дерева КТП.

• Квантовая теория поля на древовидном уровне, которая описывает эксперименты по рассеянию очень небольшого числа квантовых возбуждений вокруг вакуума, является в высшей степени квантово-механическим явлением.

• Классическая теория поля, с другой стороны, описывает рассеяние между классическими волнами. Поведение большого кластера возбуждений КТП можно было бы аппроксимировать классическими волнами.

Это два совершенно разных режима физики, классическая теория поля никак не может привести к экспериментам по квантовому рассеянию, хотя она и приводит к аналогам диаграмм древовидного уровня.

Это может быть только моим собственным небольшим решением моей собственной небольшой путаницы, но я слышал, как люди небрежно меняют местами термины «классический» и «уровень дерева».

В качестве примера этой дисаналогии: хотя нарушение унитарности является большой проблемой для КТП на древесном уровне, я не думаю, что оно имеет какое-либо отношение к классическому рассеянию волн, пока волна является классической (энергия волны достаточно высока, чтобы содержат много квантов поля).(Извините, этот пример, вероятно, неверен)

Объяснение Qmechanic четкое и точное. Однако позвольте мне дать более простое, но ограниченное объяснение:

Начнем с интеграла по путям. мы получаем классический предел, стремясь h к нулевому пределу. В этом пределе главный член порядка, дающий вклад в производящий функционал, является классическим действием. Изменение первого порядка равно нулю, и мы игнорируем изменение второго порядка. Теперь, поскольку полный вклад вносит классическое действие, выполняется EOM, и внешние состояния подчиняются обычному закону дисперсии Ep

Однако в петлевом интеграле мы интегрируем по всем 4 компонентам импульсов и рассматриваем их как независимые, т. е. импульсы вне оболочки, чего, как объяснялось выше, не может произойти, если вы приняли классический предел.

Конечно, этот аргумент ограничивается только тем, чтобы понять, почему у нас не может быть петель на внешних ножках в классическом пределе. Этот аргумент не ограничивает циклы во внутренних строках.

Может ли кто-нибудь указать, есть ли какой-либо серьезный недостаток в этом аргументе, и можно ли его изменить, чтобы также сделать заявление об отсутствии петель на внутренних линиях.

Лучший способ понять это — уравнения Швингера-Дайсона. Читайте Мэтью Шварца.