Изменение высоты снаряда и влияние на дальность эксперимента

Существует вероятность потери энергии при столкновении мяча с нижней частью пандуса, учитывая крутизну уклона. Судя по первой диаграмме, нет оснований полагать, что снаряд покидает стол под углом, а вместо этого движется горизонтально.

Но, глядя на добавленную (вторую) диаграмму, мяч, сталкивающийся с нижней частью пандуса, также, по-видимому, обеспечивает некоторый подъем мяча (за счет отскока), поскольку он покидает край с восходящей составляющей скорости. Это может усложнить ваши результаты, поэтому, возможно, будет хорошей идеей свести к минимуму высоту выпуска мяча (и, если возможно, угол наклона), чтобы связь между$h$и$x$более точно определяется производным соотношением ниже.

Сначала рассмотрим полную энергию системы.

Когда мяч достигает дна рампы, полная энергия определяется выражением

$$\tag1\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}I\omega^2=mgh$$ поскольку объект обладает как поступательной, так и вращательной кинетической энергией.

Если мы позвоним$t$время полета снаряда (когда он отрывается от стола до земли), то имеем в горизонтальном направлении$x=vt$или$t=\frac{x}{v}$и с тех пор

$$H=\frac{1}{2}gt^2$$ с$v$– горизонтальная скорость в уравнении (1), тогда $$H=\frac{gx^2}{2v^2}$$ или $$v^2=\frac{gx^2}{2H}$$

Вы можете подставить это выражение в уравнение (1), и это даст вам выражение для горизонтального диапазона$x$с точки зрения$v$. Вы также можете использовать момент инерции для мяча (сферы),

$$I=\frac{2}{5}mR^2$$ и $$\omega=\frac{v}{R}$$ в уравнении (1).

Вы должны получить что-то похожее на

$$x= \sqrt{\frac{20}{7}hH}$$ или $$x=c\sqrt{{h}}$$ для некоторой константы$c$(при условии$H$исправлено и предполагая, что я правильно выполнил алгебру), что выглядит примерно правильно, если смотреть на диаграмму. Это, конечно, не линейная зависимость между$x$и высота. Возможно, имелось в виду наличие линейной зависимости между$h$и$x^2$?

Это числовая задача из учебника физики или вы на самом деле проводите эксперимент?
Если это первое, то вы можете предположить, что снаряд покидает стол строго горизонтально.
Конечно, в реальном мире нет ничего идеального, и всегда будет какой-то небольшой угол.

По моим данным, между h и x существует линейная зависимость

Это снова то, что может быть приблизительно верным в реальном мире для небольших значений h и x.
В общем случае они не будут связаны линейно. Скорее h и x^2 будут линейно связаны.

Для реалистичного случая я «сделал» из кривой наклона кривую скольжения.

где

$$F(x)=\frac {1}{54}\,x^3-\frac{1}{12} x^2-\,x+5\\ $$

в$x_e=6~$является$F(x)=0$и$\frac{dF}{dx}\bigg|_{x=x_e}=0$таким образом, скорость горизонтальна.

с

$$T=\frac 12 m\,v^2+ \frac 12\,\frac 25\,m\,r^2\,\dot\varphi^2\\ U=m\,g\,F(x)\\ v=\frac{dF}{dx}\,\dot x$$ и состояние рулона$\dot x=r\dot\varphi$вы получаете энергию$~E=T+U=E(\dot x,x)$

от сохранения энергии, которую вы имеете

$$E(\dot x,x)=E(\dot x=0,x=0)=m\,g\,h$$ отсюда вы получаете $$v_e=\dot x(x)\bigg|_{x=x_e}$$

теперь ты знаешь скорость в конце слайда$~v_e~$теперь вы можете использовать уравнения снаряда

$$X=v_e\,t\\ Y=H-\frac 12\,g\,t^2\\ \Rightarrow\\ Y(X)=H-\frac 12 \frac{g\,X^2}{v_e}$$ $$Y(X)=0~\Rightarrow~X=\sqrt{\frac{2\,H}{g}}\,v_e\\ $$

Редактировать

вы можете параметризовать функцию$F(x)$

$$F(x)={\frac { \left( -4\,h+4\,e \right) {x}^{3}}{{e}^{3}}}-{\frac { \left( -9\,h+8\,e \right) {x}^{2}}{{e}^{2}}}+{\frac { \left( -6\,h+4\,e \right) x}{e}}+h$$

где$~h=F(0)~$e – параметр, где$F(e)=0$

из закона сохранения энергии в точке e получаем

$$\frac 15\,m\,v_e^2=m\,g\,h$$

следовательно$v_e=\sqrt{5\,g\,h}$

$$X=\sqrt{\frac{2\,H}{g}}\,v_e=\sqrt{10\,H\,h}$$

результат от @joseph.h$~X=\sqrt{\frac{20}{7}\,H\,h}~$что является хорошим приближением.