Изменяется ли (релятивистская) масса? Почему?

В релятивистской механике существует сохраняющаяся величина, релятивистский импульс:

$\vec p = \gamma m \vec v$

$\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

где m — инвариантная масса или, менее точно, масса покоя .

Теперь одна интерпретация состоит в том, чтобы идентифицировать$\gamma m$как релятивистская масса , масса, зависящая от скорости. Но на самом деле это неестественно, поскольку приводит к понятию инерции, зависящей от направления; объекты, имеющие большую инерцию вдоль направления движения.

На самом деле, более естественно определить$\gamma \vec v$как пространственные компоненты четырехвектора, четырехскоростной$\mathbf{U}$.

Тогда четырехкратный импульс просто$m\mathbf{U}$с пространственными компонентами$\vec p$:

$m\mathbf U = (\gamma m c, \gamma m \vec v)$

Вот (все еще довольно длинный) набросок первоначального развития Эйнштейном релятивистской кинетической энергии из его знаменитой статьи 1905 года «Об электродинамике движущихся тел», связанной с ответом Бена Кроуэлла. Подход к этому ответу также мотивирован документом, на который ссылается dmckee в чате.

Отметив несоответствие электродинамики Максвелла стандартной ньютоновской механике, Эйнштейн предлагает свои принципы новой динамики:

1. динамические законы должны быть одинаковыми в двух системах координат при равномерном относительном движении (поэтому нет предпочтительной системы «абсолютного покоя»)
2. постоянство скорости света$c$.

Обратите внимание, что первое на самом деле уже удовлетворяется ньютоновской динамикой; это второй революционный принцип.

Из этих принципов он развивает преобразование Лоренца, из которого, в свою очередь, вытекают (среди прочего):

• замедление времени: кажется, что движущиеся часы идут медленно. С точки зрения системы отсчета, в которой часы, движущиеся со скоростью$v$, отмечает временной интервал$\Delta \tau$, система часов системы отсчета записывает более длительный интервал$\Delta t$:

  $$\Delta t = \gamma \Delta \tau \quad \text{ where } \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\left( \frac{v}{c} \right)^2}}$$ (Здесь я должен отметить, что Эйнштейн на самом деле использует символ$\beta$для того, что мы называем$\gamma$; с$\beta$теперь означает что-то совершенно другое, это изменение в обозначении вызывает у меня бесконечное замешательство. Интересно, когда произошли изменения?)

• формула сложения скоростей, которая для коллинеарных скоростей$v$и$w$дает результат$V$:

  $$V = \Phi(v,w) = \frac{v + w}{1 +\frac{vw}{c^2}}$$ Если$w << v$, можно написать (в пределе$w \rightarrow 0$):
  $$V = v + dv = v + \phi(v) w \quad \text{ where } \phi(v) = \left. \frac{\partial \Phi}{\partial w} \right|_{w=0} = \frac{1}{\gamma ^2}$$

Обратите внимание, что ньютоновская динамика восстанавливается установкой$\phi=1$, что составляет$\gamma=1$.

Затем Эйнштейн демонстрирует, что уравнения Максвелла уже удовлетворяют обоим его принципам и что составляющая электрического поля$E$в направлении движения подвижной системы отсчета одинакова как в подвижной, так и в неподвижной системе отсчета.

При всем том, что подготовка, пришло время для главного события: рассмотреть обвинение$q$ускоренный из состояния покоя однородным электрическим полем$E$через разность потенциальных энергий$W=qEl$. По закону сохранения энергии конечная кинетическая энергия$T$заряда будет$T=W$.

1. В любой точке своего движения, когда мгновенная скорость частицы равна$v$в лабораторной системе можно установить сопутствующую систему отсчета, в которой закон Ньютона применяется (мгновенно) для изменения скорости$dw$(в этом кадре): $$dw = \frac{q}{m} E d \tau$$
2. Преобразуя это выражение в лабораторный кадр, используя приведенные выше результаты, можно найти: $$\frac{dv}{\phi(v)} = \frac{q}{m} E \frac{dt}{\gamma} \quad \text{ or } \quad dv = \frac{1}{\gamma^3} \frac{qE}{m} dt$$

Поскольку скорость изменения энергии (мощность) равна:

Заметим, что в ньютоновском пределе$\gamma=1$, интеграл дает знакомую$\frac{1}{2} mv_f^2$.

Начнем с предположения о постулатах специальной теории относительности, данных Эйнштейном в 1905 г. Один из них заключается в том, что$c$одинакова во всех системах отсчета. На самом деле есть две вещи, которые мы хотели бы сделать: (1) доказать, что обычные формулы ньютоновской механики больше не дают применимого описания динамики, и (2) выяснить, как модифицировать эти формулы.

Задача №1 довольно проста. Например, предположим, что у нас есть упругое одномерное столкновение между объектами.$M$и$m$, с$M \gg m$, в системе отсчета, где$m$изначально находится в покое и$M$имеет начальную скорость$v$. Если принять ньютоновские выражения для импульса и кинетической энергии, то результатом такого столкновения будет то, что$m$конечная скорость$v'=2v$. В случае, когда$v=c/2$, это вызовет$m$улететь на$v'=c$. Но это противоречит второму постулату Эйнштейна, потому что если материальные объекты могут двигаться со скоростью$c$, то наблюдатели могут двигаться на$c$, но тогда в такой системе отсчета наблюдателя луч света мог бы двигаться с нулевой скоростью.

Мы можем также качественно увидеть из этого рассуждения, что инерция должна увеличиваться со скоростями, сравнимыми с$c$. Для соответствия постулатам относительности действительный результат этого столкновения должен быть$v'<c$. Масса$m$ведет себя так, как если бы сопротивление изменению его состояния движения превышало ожидаемое. Есть два эквивалентных способа сформулировать это: (а) мы можем сказать, что$m$увеличивается со скоростью, или (б) мы можем изменить уравнения для энергии и импульса, учитывая$m$быть константой. Принципиально не имеет значения, выбираем ли мы a или b; это просто перетасовка определенного поправочного коэффициента в определенных уравнениях. Примерно до 1950 года более популярным было значение a, но в наши дни все физики используют b.

Итак, теперь у нас есть задача № 2, состоящая в том, чтобы количественно исправить динамические формулы ньютоновской механики, чтобы они были релятивистски правильными. Есть много разных способов сделать это. Путь, по которому первоначально пошел Эйнштейн, состоял в том, чтобы продемонстрировать эквивалентность массы и энергии (Einstein 1905b). Статья довольно удобочитаема, но если вы действительно хотите продолжить этот подход и разработать полную трактовку импульса, на мой взгляд, она становится немного громоздкой. Более современный подход, продемонстрированный Эйнштейном в 1935 году, состоит в том, чтобы мыслить в терминах четырех векторов. Этот подход позволяет получить довольно компактный вывод за счет некоторой абстракции.

Кинематические следствия постулатов Эйнштейна 1905а резюмируются преобразованием Лоренца, которое преобразует временные и пространственные координаты события$(t,x,y,z)$в координаты$(t',x',y',z')$в другой системе отсчета, которая движется относительно первой со скоростью$v$. Я не собираюсь заново выводить здесь преобразование Лоренца, поэтому я просто буду обращаться к его свойствам по мере необходимости. Поэтому естественно начать говорить о векторах.$\textbf{r}$и$\textbf{r}'$в четырех измерениях. Они называются четырехвекторами. Нам действительно нужно отбросить старое понятие трехвектора, потому что трехвектор, подобный$(x,y,z)$не имеет четко определенных свойств преобразования; мы не можем сказать, как это будет выглядеть в другом кадре, не зная$t$.

Точно так же, как ньютоновская механика имеет единые правила для работы с векторами смещения, векторами силы, векторами количества движения и т. д., мы ожидаем, что преобразование Лоренца будет применимо ко всем соответствующим объектам в теории относительности. Вы можете принять это как постулат, если хотите.

Фундаментальные законы физики — это законы сохранения, например закон сохранения импульса. Приведенные выше соображения говорят нам, что для того, чтобы обобщить закон сохранения импульса на теорию относительности, нам придется сделать четырехвектор из ньютоновского трехимпульса. Если закон перевыразить в терминах четырехвектора, то уравнение будет автоматически верным независимо от того, в какой системе отсчета мы находимся, поскольку обе части уравнения будут преобразовываться одинаково.

Преобразование Лоренца нулевого вектора всегда равно нулю. Это означает, что 4-вектор импульса материального объекта не может быть равен нулю в системе покоя объекта, так как тогда он был бы равен нулю и во всех других системах отсчета. Итак, для объекта массы$m$, пусть его четырехвектор импульса в системе покоя равен$(f(m),0,0,0)$, где$f$— некоторая функция, которую нам нужно определить, и$f$может зависеть только от$m$поскольку нет другого свойства объекта, которое могло бы быть здесь динамически релевантным. Поскольку законы сохранения аддитивны,$f$должно быть$f(m)=km$для некоторой универсальной константы$k$. В разумных релятивистских единицах, где$c=1$,$k$является безразмерным. Так как мы хотим$\textbf{p}=m\textbf{v}$для четырехвекторов, чтобы восстановить соответствующий ньютонов предел для массивных тел, и поскольку$v_t=1$в этом пределе нам нужно$k=1$.

Преобразовывая этот четырехвектор импульса в какую-либо другую систему отсчета, мы обнаруживаем, что его времяподобная компонента уже не является$m$. Это равно$m$плюс выражение, низкоскоростным пределом которого является кинетическая энергия. Мы интерпретируем это выражение как релятивистскую кинетическую энергию. У нас больше нет отдельного сохранения массы, есть только сохранение массы плюс энергия или «масса-энергия».$E$.

Преобразование Лоренца всегда сохраняет норму вектора$\textbf{r}$, определяется$r_t^2-r_x^2-r_y^2-r_z^2$. Для тела массой$m$, норма четырехвектора импульса всегда будет$m^2$, независимо от того, в каком кадре мы находимся. Результат

которое справедливо как для массивных, так и для безмассовых частиц. в$m \ne 0$случае можно доказать, что$p=m\gamma v$. Масса$m$является постоянным, что является современным соглашением. В школьных учебниках, которые до сих пор застряли в 1940-х годах,$m\gamma$называется релятивистской массой,$m$как остальная масса.

Эйнштейн, «Об электродинамике движущихся тел», 1905; Английский перевод на http://fourmilab.ch/etexts/einstein/specrel/www/

Эйнштейн, «Зависит ли инерция тела от его энергоемкости?», 1905; Английский перевод на http://fourmilab.ch/etexts/einstein/E_mc2/www/

Эйнштейн, «Элементарный вывод эквивалентности массы и энергии», Бюлл. амер. Мат. соц. 41 (1935), 223-230, http://www.ams.org/journals/bull/1935-41-04/S0002-9904-1935-06046-X/home.html

В ньютоновской физике масса частицы материи не меняется. Это определяется

$F=ma$, где$F$сила, которую необходимо приложить к этой конкретной массе$m$чтобы ускорить его ускорением$a$.

Когда скорости приближаются к скорости света, эксперименты говорят нам, что чем выше скорость частицы, тем больше силы необходимо приложить для того же ускорения.$a$.

Специальная теория относительности рассматривает это поведение, и оно снова и снова подтверждается экспериментами. Из ссылки:

Наблюдателю, который не ускоряется, кажется, что инерция объекта увеличивается, чтобы вызвать меньшее ускорение в ответ на ту же силу. Такое поведение фактически наблюдается в ускорителях частиц, где каждая заряженная частица ускоряется электромагнитной силой.

Формулу изменения массы можно найти по ссылке выше.

Теперь нет другого ответа на «почему», чем «потому что так устроена природа».

когда объект движется со скоростью, сравнимой со скоростью света, (релятивистская) масса изменяется [...]

Эта посылка представляется ошибочной.

Когда и пока какой-то конкретный объект, который идентифицируется некоторой конкретной (собственной, собственной, инвариантной) массой$m$движется с некоторой определенной постоянной скоростью$v$(относительно подходящей системы участников, способных оценить эту скорость этого объекта, по сравнению со скоростью света в вакууме$c_0$)

тогда так называемая « релятивистская масса » этого объекта в этом испытании$m / \sqrt{ 1 - (v/c_0)^2 }$, не меняется, но также остается постоянной.

Вместо этого могут быть рассмотрены различные испытания, в которых один и тот же конкретный объект определенной (собственной, собственной, инвариантной) массы$m$движется с разными скоростями, так что его « релятивистская масса », следовательно, меняется от опыта к опыту.

(История понятия « релятивистская масса » и его ограниченная полезность по сравнению с понятием «(внутренняя, собственная, инвариантная) масса» уже рассматривалась в других ответах.)

В дополнение к ответу Альфреда Центавра я могу сказать, что масса

$m_{rel}=\gamma m$

АВТОМАТИЧЕСКИ подразумевает направленную инерцию, так как она непостоянна.

Любая непостоянная масса вызывает движущую силу.

Из определения силы

$F=\frac{dp}{dt}=\frac{dm_{rel}v}{dt}=v\frac{dm_{rel}}{dt}+m_{rel}\frac{dv}{dt}$

у нас есть

$F_{prop}=v\frac{dm_{rel}}{dt}$

Он равен нулю для постоянной массы, но не равен нулю для непостоянной.

Это неотъемлемая часть механики и используется в ракетостроении.

Набирает ли он массу или нет, зависит от того, как определить массу. «Релятивистская масса» — это просто полная энергия с коэффициентом c в квадрате.

Я помню, как читал, что сам Эйнштейн был против идеи такой концепции, и его цитируют, говоря, что единственная масса, которую следует учитывать, - это «масса покоя». Я должен был бы согласиться.

Релятивистская масса — это в основном то, что используется только тогда, когда ученые объясняют вещи неученым. Причина, по которой вы не можете достичь скорости света, не в том, что объект по своей природе меняется, а в связи между относительной скоростью и энергией.

Имейте также в виду, что, если мы используем релятивистскую массу, мы больше не имеем права говорить, что свет не имеет массы. Свет имеет релятивистскую массу, потому что у него есть энергия.

Это простой способ понять массу. Мы знаем, что Свет (и ЭМ в целом) не имеет массы покоя. Но у стоячей волны или захваченного луча света между двумя зеркалами (как в лазерах) есть масса покоя. Таким образом, мы заключаем, что масса покоя — это не что иное, как захваченный/задержанный импульс или энергия, если хотите, поскольку они выводятся друг из друга. Треппинг может быть выполнен либо стенами, такими как зеркала, или полой стеной, либо может быть выполнен захватом круговыми движениями (без стен). Таким образом, мы говорим здесь, что масса и релятивистская масса должны быть эквивалентны незахваченному импульсу, тогда как масса покоя эквивалентна захваченному/задержанному импульсу. Многие примеры подтверждают эту картину. Во-первых, у вас есть эксперименты по уничтожению и созданию, в которых масса покоя становится потоком чистой энергии и наоборот. Тогда у вас есть случай, когда масса протона намного больше, чем общие массы покоя внутренних составляющих, поскольку избыточная масса покоя возникает из-за огромного импульса составляющих, движущихся с релятивистскими скоростями. По той же логике сам электрон должен быть не более чем захваченным импульсом. Это, конечно, хорошо согласуется с нашими знаниями об электроне... как об имеющем реальное механическое вращение (согласно эксперименту Эйнштейна-де-Хасса), а также о наличии внутренних часов - Zitterbewegung, которые также связаны со вращением. Тогда у вас есть случай двойной ловушки... где у вас есть массы покоя с высокими скоростями, захваченные в более крупную структуру, как в случае с ядром. Это снова делает массу ядра больше, чем сумма масс покоя внутренних компонентов. Но эта разница начинает становиться все меньше и меньше по мере того, как структура становится больше. Горячая материя, например, имеет большую массу покоя, чем холодная, но разницу нельзя измерить, так как она очень мала. Мы также отмечаем, что здесь мы согласны с формулой Эйнштейна E=mc^2, поскольку в стоячей волне у вас есть удвоенная кинетическая энергия... то есть E=2* .5 mv^2=mv^2=mc^2 как скорость в нашем случае равна скорости света.

Масса в физике — это математическая конструкция, и масса приближающегося объекта$\infty$по мере приближения скорости объекта$c$является математическим следствием постулатов специальной теории относительности.