Магнитное поле в центре вращающейся заряженной сферы

Позволять$\Sigma$быть сферой радиуса$R$заряженный с однородной поверхностной плотностью$\sigma$. Предположим$\Sigma$вращается с постоянной угловой скоростью$\omega$, рассчитайте магнитное поле в центре сферы.

Предполагать$\boldsymbol \omega = \omega \mathbf{\hat z}$. У нас есть поверхностное течение

$$\mathbf K(\mathbf r') = \sigma \mathbf v(\mathbf r') = \sigma \boldsymbol \omega \times \boldsymbol \rho$$ где $\boldsymbol \rho$вектор, разделяющий $\mathbf r'$от оси вращения (т. $z$ось). Так как в сферической координате ( $\theta$долгота, $\varphi$широта) мы можем написать $\boldsymbol \rho = R \cos \varphi \mathbf{\hat r}$, у нас есть $$\mathbf K(\mathbf r') = \sigma \mathbf v(\mathbf r') = \sigma\omega R\cos\varphi \boldsymbol{\hat \theta}$$ Магнитное поле в начале координат определяется выражением $$\begin{split} \mathbf B(\mathbf 0) &= \frac{\mu_0}{4 \pi} \int_\Sigma \frac{\mathbf K(\mathbf r') \times (-R \mathbf{\hat r})}{R^3} \mathop\!\mathrm{d}a' = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_{-\pi/2}^{+\pi/2} \int_0^{2\pi} \frac{\sigma\omega R^2\cos\varphi'\ \mathbf{\hat z}}{R^3} R^2\cos \varphi' \mathop\!\mathrm{d}\theta' \mathop\!\mathrm{d}\varphi' \\ &= \frac{\mu_0R\sigma\omega}{2}\int_{-\pi/2}^{+\pi/2} \cos^2\varphi' \mathop\!\mathrm{d}\varphi'\ \mathbf{\hat z} = \frac{\pi}{4} \mu_0 R \sigma \omega \ \mathbf{\hat z} \end{split}$$ Однако мне сказали, что ответ должен быть $$\mathbf B(\mathbf 0) = \frac 2 3 \mu_0 R \sigma \omega\ \mathbf{\hat z}$$ Что я сделал не так?

---

РЕДАКТИРОВАТЬ: Благодаря комментариям и ответу secavara я понял свою ошибку: смешивание цилиндрических координат со сферической интеграцией. Действительно$\boldsymbol{\hat \theta} \times \mathbf{\hat r}$не является$\mathbf{\hat z}$: у нас есть

$$\boldsymbol{\hat \theta} \times \mathbf{\hat r} = - \boldsymbol{\hat \varphi} = - (\cos\varphi \mathbf{\hat z} - \sin \varphi \mathbf{\hat u})$$ если мы обозначим с $\mathbf{\hat u}$радиальный единичный вектор в цилиндрических координатах. Так что интеграция должна пройти $$\begin{split} \mathbf B(\mathbf 0) &= \frac{\mu_0}{4 \pi} \int_\Sigma \frac{\mathbf K(\mathbf r') \times (-R \mathbf{\hat r})}{R^3} \mathop\!\mathrm{d}a' = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_{-\pi/2}^{+\pi/2} \int_0^{2\pi} \frac{\sigma\omega R^2\cos\varphi'\ \color{red}{\boldsymbol{\hat \varphi}}}{R^3} R^2\cos \varphi' \mathop\!\mathrm{d}\theta' \mathop\!\mathrm{d}\varphi' \\ &= \frac{\mu_0}{4\pi} \int_{-\pi/2}^{+\pi/2} \int_0^{2\pi} \frac{\sigma\omega R^2\cos\varphi'\ (\cos\varphi' \mathbf{\hat z} - \sin \varphi' \mathbf{\hat u})}{R^3} R^2\cos \varphi' \mathop\!\mathrm{d}\theta' \mathop\!\mathrm{d}\varphi' \\ &= \frac{\mu_0\sigma\omega R}{2} \left(\int_{-\pi/2}^{+\pi/2} \cos^3\varphi' \mathop\!\mathrm{d}\varphi'\ \mathbf{\hat z} - \int_{-\pi/2}^{+\pi/2} \sin \varphi' \cos^2\varphi' \mathop\!\mathrm{d}\varphi'\ \mathbf{\hat u} \right) \\ &= \frac{\mu_0\sigma\omega R}{2} \left(\frac 4 3\ \mathbf{\hat z} - 0\ \mathbf{\hat u}\right) = \frac 2 3 \mu_0\sigma\omega R\ \mathbf{\hat z} \end{split}$$ и это правильный ответ. Спасибо!