Показ того, что магнитное поле внутри бесконечного цилиндра с током равно нулю

Я занимаюсь самостоятельным изучением вводной физики и работал над вопросом из учебника, состоящего из нескольких частей. В первых нескольких частях меня просили показать, что магнитное поле бесконечного цилиндра с током имеет вид Б → "=" ф ( р ) [ 0 г − у ] если мы выберем ось x в качестве центральной оси трубы. где р "=" у 2 + г 2 . Затем меня попросили показать, что внутри пустого пространства ф ( р ) "=" а р 2 , где а есть постоянная интегрирования. Мне это тоже удалось, следуя схеме из учебника, я использовал определение curl как производной, вычислил curl и выполнил некоторое интегрирование. Подводя итог, я показал, что внутри цилиндра Б → "=" а р 2 [ 0 г − у ] .

Однако я застрял на том, что должно быть простым следствием моего результата, который должен показать, что магнитное поле внутри цилиндра в пустом пространстве всегда 0 . Подсказка состоит в том, что поле на центральной оси равно 0 по симметрии, как я понимаю. Но тогда я должен использовать свой результат выше для поля внутри и того факта, что поле 0 на центральной оси, чтобы показать, что это 0 везде внутри. Это должно быть простым выводом из всей работы, которую я проделал выше, но я просто не вижу этого.

Кажется, в вашем описании есть ошибки. Во втором абзаце вы упомянули электрическое поле, что, как я предполагаю, было опечаткой? Что еще более важно, в первом абзаце вы говорите, что показали, что Б → "=" а р 2 [ ⋯ ] внутри цилиндра, но вы хотели сказать, что показали это снаружи цилиндра?
Спасибо, исправлено. В общем случае я показал, что форма поля сохраняется в пустом пространстве, которое будет включать в себя снаружи или внутри цилиндра, так как заряд расположен на поверхности цилиндра. Это вопрос по физике для первокурсников, поэтому он не должен быть таким сложным. Я просто не могу думать об этом, и это беспокоит меня.
Хотя это не исправлено. Противоречие в том, что в первом абзаце вы говорите, что показали, что Б → ≠ 0 внутри цилиндра, но тогда во втором абзаце вы пытаетесь показать, что Б → "=" 0 внутри цилиндра. Они оба не могут быть правдой.
@DavidZ Это не противоречие, если a = 0, что я и пытаюсь показать.
Ах, попался. Я немного отвлекся, я полагаю.
У вас есть то, что Икс компонент Б равен нулю. Если Б имеет радиальные или угловые компоненты, по симметрии они должны быть независимыми от θ и Икс . Если бы радиальная составляющая была отличной от нуля, то был бы чистый поток внутрь или наружу любого цилиндра с центром на оси. Если угловая составляющая отлична от нуля, то по закону Ампера должен протекать ток через любую окружность с центром на оси.
@KeithMcClary, это должен быть ответ

Ответы (2)

Так что у вас есть это Б → "=" а р 2 [ 0 г − у ] таким образом, величина Б "=" а р 2 г 2 + ( − у ) 2 , где а неизвестно.

Можете ли вы написать это как функцию р ?

Можете ли вы расследовать, что происходит, когда р уходит в ноль?

Непрерывны ли магнитные поля в пустом пространстве (вакууме)?

Если да, попробуйте следующие пять:

Какое магнитное поле вы ожидаете в начале координат?

Какова его величина?

Помните, что а является неизвестной константой. Есть ли выбор а это позволяет Б приблизиться к величине, в которой он нуждается, когда вы приближаетесь к происхождению?

Это единственный выбор? Это то, что вы хотели?

Если нет, то можете ли вы вычислить линейный интеграл магнитного поля по кругу вокруг начала координат и сравнить его с чем-нибудь?

В образовательных целях я могу поделиться некоторыми актуальными требованиями преемственности. Через любую поверхность, ограниченную треугольником, нормальная составляющая Б → Поле должно давать такой же средний поток только на одной стороне треугольника, как и на другой (иначе вы не можете взять дивергенцию и, следовательно, вы не можете сказать, что дивергенция равна нулю).

Существует аналогичное правило для тангенциальных составляющих, но они могут прыгать в зависимости от того, есть ли у вас поверхностные токи или происходит ли что-то сверхэкстремальное с электрическим полем в определенный момент.

Я думал об этом часами. Чтобы ответить на ваш вопрос, B = а р конечно. Я думал о том, чтобы взять предел, когда r приближается к 0, но нет абсолютно никакой причины, по которой lim(B) при r --> 0 должен быть равен 0. Просто неверно, что предел магнитного поля по мере его приближения точка должна равняться полю в этой точке. Например, существует разрыв в электрическом поле сферы, когда вы двигаетесь изнутри наружу.
Мне не нужно было вычислять линейный интеграл. В книге это еще не раскрыто.
Если магнитные поля непрерывны в пустом пространстве, это тривиально. Нам требуется Lim(B), так как r -> 0 = B(0) = 0, следовательно, a = 0. Но автор никогда не упоминал о непрерывности магнитных полей в пустом пространстве, и я не могу придумать, как это доказать.
@user7348 user7348 Определение завитка должно быть в терминах линейного интеграла. Существуют и другие определения завитков, которые работают только в том случае, если поле имеет частные производные по всем направлениям, что требует непрерывности. Это может помочь, если вы расскажете о том, что знаете.
Это вводная книга по физике, и мы определили curl как векторную производную, поэтому она состоит из 3 компонентов, которые работают как векторное произведение.
@ user7348 Существуют версии электромагнетизма, в которых значение в любой точке имеет значение только для средних значений по областям конечного (ненулевого) объема материи. Но в этих версиях не дается никакой информации, говоря, что значение в начале координат равно нулю, поскольку значение в любой точке не имеет значения.
Учитывая, что это очень простая книга, вы думаете, что автор просто хочет, чтобы я принял преемственность и взял предел, и покончил с этой проблемой?
@ user7348 Я думаю, возможно, вы уже предполагали непрерывность, если брали много частных производных здесь, там и повсюду внутри. Частные производные не существуют, если они не непрерывны в том направлении, в котором вы берете частное.

Величина B-поля а / р и циркулирует вокруг оси. Под симметрией вы понимаете , что величина равна нулю на оси. Но если а чем угодно, кроме нуля, ваше выражение дает бесконечную величину B-поля. Поэтому а должно быть равно нулю, и поэтому B-поле также равно нулю везде внутри трубы.

Результат также следует из закона Ампера. Линейный интеграл от B-поля вокруг замкнутого кругового контура внутри трубы, в которой нет тока, должен быть равен нулю. Поскольку B-поле параллельно линейному элементу (если а отличен от нуля), вы получите ненулевой линейный интеграл. Поэтому оба а а B-поле должно быть равно нулю.

Я знаю, как использовать закон Ампера, чтобы показать это. Я действительно хотел следовать рассуждениям в вопросе. Суть вопроса в том, чтобы разобраться без закона Ампера. Кроме того, ваш ответ неверен. Мое уравнение для B применимо во всех точках, кроме r = 0. Согласно вашим рассуждениям, K в законе Кулона должно быть равно нулю, иначе электрическое поле отдельной точечной частицы было бы бесконечным при r = 0. Но это неправильно, потому что закон Кулона действителен только для ненулевого r.
@user7348 user7348 Во-первых, вы не указываете, что не используете закон Ампера (что очевидно и проще всего сделать). Во-вторых, вы должны указать (и объяснить, почему), по вашему мнению, ваше уравнение неприменимо в данный момент. р "=" 0 (мне кажется, что это так, пока а "=" 0 ). Сравнение с законом Кулона неуместно, так как мы не можем сказать, что E-поле равно нулю (или любому значению) в начале координат, тогда как в этом случае мы можем сказать, что B=0 в начале координат, потому что оно осесимметрично и не может быть радиальным.
@ user7348 Возможно, более важно то, что E-поле (и его пространственные производные) в примере с законом Кулона является прерывистым, потому что линии E-поля начинаются и заканчиваются на зарядах. B-поле не может быть прерывистым в отсутствие токов.
Показ того, что магнитное поле внутри бесконечного цилиндра с током равно нулю
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v