Как доказать, что ортохронные преобразования Лоренца O+(1,3)O+(1,3)O^+(1,3) образуют группу?

Пусть метрика Минковского$\eta_{\mu\nu}$в$d+1$пространственно-временные измерения

$$\eta_{\mu\nu}~=~{\rm diag}(1, -1, \ldots,-1).\tag{1}$$

Обозначим группу Ли преобразований Лоренца как$O(1,d;\mathbb{R})=O(d,1;\mathbb{R})$. Матрица Лоренца$\Lambda$удовлетворяет (в матричных обозначениях)

$$\Lambda^t \eta \Lambda~=~ \eta. \tag{2}$$

Здесь надстрочный индекс "$t$" обозначает преобразование матрицы. Обратите внимание, что уравнение (2) не зависит от того, используем ли мы соглашение о восточном или западном побережье для метрики$\eta_{\mu\nu}$.

Разложим матрицу Лоренца$\Lambda$на 4 блока

$$\Lambda ~=~ \left[\begin{array}{cc}a & b^t \cr c &R \end{array} \right],\tag{3}$$

куда$a=\Lambda^0{}_0$является действительным числом;$b$а также$c$настоящие$d\times 1$векторы-столбцы; а также$R$настоящий$d\times d$матрица.

Теперь определим множество ортохронных преобразований Лоренца как

$$O^{+}(1,d;\mathbb{R})~:=~\{\Lambda\in O(1,d;\mathbb{R}) | \Lambda^0{}_0 > 0 \}.\tag{4}$$

Доказательство того, что это подгруппа , можно вывести из следующей цепочки упражнений.

Упражнение 1: Докажите, что

$$|c|^2~:= ~c^t c~ = ~a^2 -1.\tag{5}$$

Упражнение 2: Сделайте вывод, что

$$|a|~\geq~ 1.\tag{6}$$

Упражнение 3: Используйте ур. (2) доказать, что

$$\Lambda \eta^{-1} \Lambda^t~=~ \eta^{-1}. \tag{7}$$

Упражнение 4. Докажите, что

$$|b|^2~:= ~b^t b~ = ~a^2 -1.\tag{8}$$

Далее рассмотрим продукт

$$\Lambda_3~:=~\Lambda_1\Lambda_2\tag{9}$$

двух матриц Лоренца$\Lambda_1$а также$\Lambda_2$.

Упражнение 5. Покажите, что

$$b_1\cdot c_2~:=~b_1^t c_2~=~a_3-a_1a_2.\tag{10}$$

Упражнение 6. Докажите двойное неравенство

$$-\sqrt{a_1^2-1}\sqrt{a_2^2-1} ~\leq~ a_3-a_1a_2~\leq~ \sqrt{a_1^2-1}\sqrt{a_2^2-1},\tag{11}$$

который можно компактно записать как

$$| a_3-a_1a_2|~\leq~\sqrt{a_1^2-1}\sqrt{a_2^2-1}.\tag{12}$$

Упражнение 7. Выведите из двойного неравенства (11), что

$$a_1\neq 0 ~\text{and}~ a_2\neq 0~\text{have same signs} \quad\Rightarrow\quad a_3>0. \tag{13}$$ $$a_1 \neq 0~\text{and}~ a_2\neq 0~\text{have opposite signs} \quad\Rightarrow\quad a_3<0. \tag{14}$$

Упражнение 8: Используйте ур. (13) чтобы доказать, что$O^{+}(1,d;\mathbb{R})$стабилен/замкнут по карте умножения.

Упражнение 9: Используйте ур. (14) чтобы доказать, что$O^{+}(1,d;\mathbb{R})$устойчив/замкнут относительно карты инверсии.

Упражнения 1-9 показывают, что множество$O^{+}(1,d;\mathbb{R})$ортохронных преобразований Лоренца образуют подгруппу.$^{\dagger}$

Использованная литература:

1. С. Вайнберг, Квантовая теория полей, Vol. 1, 1995; п. 57-58.

---

$^{\dagger}$Математик, вероятно, сказал бы, что уравнения. (13) и (14) показывают, что отображение

$$O(1,d;\mathbb{R})\quad \stackrel{\Phi}{\longrightarrow}\quad \{\pm 1\}~\cong~\mathbb{Z}_2\tag{15}$$

данный

$$\Phi(\Lambda)~:=~{\rm sgn}(\Lambda^0{}_0)\tag{16}$$

является групповым гомоморфизмом между группой Лоренца$O(1,d;\mathbb{R})$и циклическая группа$\mathbb{Z}_2$, и ядро

$${\rm ker}(\Phi)~:=~\Phi^{-1}(1)~=~O^{+}(1,d;\mathbb{R}) \tag{17}$$

всегда нормальная подгруппа.

Для обобщения на неопределенные ортогональные группы$O(p,q;\mathbb{R})$см. этот пост Phys.SE.

Ваша проблема меня тоже давно беспокоила, поэтому я знаю, о чем вы спрашиваете. «Правильная» часть проста из-за того, что определители умножаются при умножении матриц, поэтому ограничиться единичным определителем просто. Положительный знак временной компоненты доказывается топологически.

Группа Лоренца перемещает единичный вектор времени куда-то по гиперболоиду:

$$t^2 - x^2 = 1$$

Во многих измерениях. Это несвязное пространство, есть две компоненты --- с t>0 и t<0. Чтобы доказать несвязность, вы можете видеть, что нет никаких реальных решений уравнения с$-1<t<1$, а теорема о промежуточном значении требует, чтобы любой путь, соединяющий верхний гиперболоид с нижним, проходил через середину.

Это означает, что любое преобразование, при котором изображение единичного вектора времени меняет знак времени, не связано с тождеством. Если вы посмотрите на компоненту группы Лоренца, связанную с единицей, она не должна менять знак временного вектора, а свойство непрерывной связи с единицей сохраняется при умножении и инверсии, по простому аргументу (соедините с тождество и возьмем поточечное произведение/обратное).

Ответ Миши правильный и полный.

Однако позвольте мне привести вам физический аргумент, объясняющий, почему вы не найдете доказательства ни в одной книге. Надлежащими ортохронными преобразованиями являются пространственные вращения и чистые преобразования Лоренца (или повышения). И ясно с физической точки зрения, что эти преобразования проверяют групповые законы: замкнутость, существование обратных (противоположный угол или скорость) и тождество.

Все групповые аксиомы выполнены и очевидны. Замыкание легко доказать, ассоциативность легко доказать, тождество очевидно, а обратное очевидно.

В принципе невозможно представить себе физическое преобразование, которое не образует группу. Определение группы в основном навеяно идеей движений из физики: вращения, сдвиги, преобразования Лоренца и т. д.